PDF《A.7 EOF分析》

空间抽样;

面积加权. 北半球1月SLP例子 时时时空 空 空转 转 转换 换换有时空间样本m远大于时间序列长度n,计算m * m矩阵的特征根很困难,可以 考虑对其进行时空转换.矩阵A =

1 n XX 和B = XX 的特征根不同,但是特征向

48 图A.17: 我国东部地区夏季降水量EOF分析第一特征向量.(a)原始值,(b)距平 值,(c)距平百分率,(d)标准化值.

1951 ? 2002资料.

49 量是一样的.而可以证明C = X X 和C? = X X有相同的特征根, 但特征向量不 同.因此,通过时空转换可以求X X矩阵的特征根,进而计算XX 矩阵的特征向 量.即有 C? * V ? = V ? * ∧ V ? 是C? 的特征向量,∧是特征根对角矩阵.根据V ? 是可以求出C的特征向量的, 首先计算Va = X * V ? ;

对Va进行处理得到C的前n个特征向量Vk Vk =

1 √ λk Va(:, k) 得到特征向量V 后,就可以计算相应的主成分 PC = V T * X 前面计算得到的EOF维数是m * m,而通过时空转换得到的EOF维数只 有m * n.即只能得到前n个特征向量.不过实际应用中对结果影响并不大,因为 通常我们只关心前几个最重要的模态. 下面是一个简单例子,有一个矩阵X,维数是5*2,先直接计算矩阵XX 的5个 特征向量,然后再利用时空转换方法计算其前2个特征向量. X=[ -1.20 4.60 2.80 -0.40 -2.20 -4.40 1.80 0.60 -1.20 -0.40] [V1,E1]=eig(X*X'

);

%% V1=fliplr(V1);

%% E1=fliplr(flipud(E1));

%% 得到特征向量V1= -0.66 0.49 -0.45 -0.15 -0.32 -0.02 -0.67 -0.14 -0.15 -0.72 0.73 0.31 -0.56 -0.15 -0.17

50 -0.14 -0.39 -0.42 -0.58 0.57 0.10 0.26 0.53 -0.77 -0.19 得到特征根E1= 42.11

0 0

0 0

0 17.89

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0 0

0 0

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0 0 如果进行时空转换的话,计算结果是: [V2,E2]=eig(X'

*X);

%% V2=fliplr(V2);

%% E2=fliplr(flipud(E2));

%% 得到特征向量V2= 0.19 -0.98 0.98 0.19 得到特征根E2= 42.11

0 0 17.89 可见E1和E2是一样的.再计算XX'

矩阵的第一特征向量: Va=X*V2;

%% V_k1=Va(:,1)/sqrt(E2(1,1));

得到: 0.66 0.02 -0.73 0.14 -0.10 计算XX'

矩阵的第二特征向量是: V_k2=Va(:,2)/sqrt(E2(2,2));

得到: 0.49

51 -0.67 0.31 -0.39 0.26 可见,用时空转换方法得到的2个特征向量,与前面直接计算矩阵XX 和矩 阵1 n XX 的得到的前两个特征向量完全一致.当数据量很大时,如对全球1月份2.5? 分辨率的再分析1000hPa高度场(Φ)进行EOF分析时,空间点的数量是m = 10512,时间长度n = 54,则矩阵C = ΦΦT 的维数是10512 * 10512,而如果用时空 变换方法,则矩阵C? = Φ? Φ的维数是54 * 54,很快就可以计算出前54个特征向 量.高分辨率的遥感数据如NDVI,其空间维数远比气象数据大,但其长度通常只 有20年左右,因此进行EOF分析时常需要借助时空变换手段. A.7.1 REOF分分分析 析析算法: 程序varimax.m.模态数目的选择. A.8 SVD分分分析 析析EOF分析中一次只分析了一个变量X,地学中常常涉及多个要素场之间的关 系.分析多个要素场关系的方法也有很多,包括混合EOF(combined empirical orthogonal function,缩写CEOF),奇异值分解(singula........