PDF《Homework #4》

Homework #4 一,(20 ) 总电荷量为 Q,电荷均匀分布在半径为 R 的球.

通过 Maxwell 应力张量 求北半球所受的力. F = T ・ dS. (1) 和上课时不同,面积分时选择半径 r → ∞ 的上半球面和相对应的无限延展的赤道 面作为积分面.注意:在高斯定理中 ?・ TdV = dS ・ T = T ・ dS, (2) 面S应为包裹体积 V 的外表面.请解释为什么在这个问题里,可以选取 r → ∞, z >

0 的上半球面以及 z = 0, x, y → ±∞ 的赤道面作为积分面? 二,(10 ) 直接使用电场 E,通过多极展开求零阶和一阶(电偶极矩)电场. 三,(20 ) 总电荷量为 Q,电荷均匀分布半径为 R 的球.用两种不同方式计算该系 统的静电场的能量.(1): W = (1/2) ρV dV. (2): W = ( 0/2) E2 dV . 在(2)的结 果里,为什么没有出现类似于点电荷的无限大的自能?原因:对一连续分布的电 荷体系,取一小体积元 ?V , 则其中的总电量为 ρ?V ,让?V → 0, 则该"点"电 量趋于0. 四,(20 ) 推导 ponderamotive force.考虑如下电场 E = E(x) cos(ωt). (3) 现考虑一粒子,在t=0时静止于 x = x0 处,现通过 Lorentz 运动方程和扰动分析 (x ≈ x(0) + x(1) + x(2) 证明 m ¨ x(1) = 0, (4) Fp ≡ m ¨ x(2) = ?

1 4 q2 mω2 dE2 (x) dx . (5) 此处 A ≡

1 T t+T t Adt, (6) with T = 2π/ω. 注:这个 ponderamotive force (Fp) 在激光聚变,射频加热等离子体 等相关波的非线性效应里非常重要. 1