PDF《科别：数学科》

科别:数学科 组别:高中组 作品名称:法雷图连分数 关键词:天花板符号~「」 、地板符号~「」 编号:040408 学校名称: 国立凤山高级中学 作者姓名: 柯智伟、王裕文、王品 指导老师: 谢维、方婉茜 摘要 古代西方,连分数是很多数学家研究的领域,但还是在数方面做打转,我们的构想是, 既然辗转相除法可连结到连分数,那连分数一定可以推广到更广阔的领域,几何的结合是我 们所构想的,也就是用崭新的方法,几何来定义连分数,再结合法雷(序列)图形,加上其特 殊的性质,包括翻转、平移、图形的左右、变换主轴的走向,以达成法雷(序列)图形上得连 分数,连分数就变成几何方式的全新风貌.

但连分数是以连加的方式利用高斯来求得,但我 们以反向思考的连减方式来创造新的连分数,利用天板符号求得,这与原来的连分数是完全 不同的,几何的读出也是不尽相同,接著以法雷图形和连分数的结合解释无理数和 n 在图 形上重合的性质,其字码是非常有循环的,而应用中皆是实际的发现,除计算机上的问题较 简易,中,可成功的利用图形的特性,连分数的分析,接 著将费氏数列变形,会发现其实法雷图形上就存在费氏数列, 中再加入毕氏数组的讨论,会发现更多连分数的变化和规律. 壹、研究动机 高中一年级 , 我们从解两数之最大公因数里 , 习得辗转相除法 . 同学提问老师 , 关於辗转相除法的式子运算中 , 我们常忽略掉的左右两组数 ,而它们是否是有作用的 . 逐步的去分析 , 我们发现了连分数 , 又查阅许多书籍后,得知连分数的发展在现代数学 占有举足轻重的地位 , 又加上代数与几何的关系密切,我们希望能有个与连分数相关的图 形出现 , 因此 , 开始了我的图形之旅. 贰、研究目的 希望由一个简单法雷(序列)图形表示且读出出两组 ( ? ??地板符号 连分数 ) 和(?天花板符号连分数 ) ? ? ? ? 结合连分数和法雷(序列)图形与计算机 , 费波那西(Fibonacci)数列 , 历法 , 毕氏 数组的应用. 参、研究的原理与设备 研究的原理:由辗转相除法导出连分数,接著再以法雷(序列)图形利用利用半圆形架构, 架设法雷(序列)图形,来表示连分数. 设备 : 电脑 , 人脑 , 纸,笔.1肆、研究过程与方法 连分数和法雷序列的结合 最大公因数和最小公倍数,对於两个很大的数 要求其公因数时,产生了困难;

老师便教了一个快速方法来协助同学解决问题,即辗转相除法(欧几里德计算法)型如: b a, ?

1 q

3 q a

1 bq

1 r

3 2 q r

3 r … b

2 1q r

2 r

4 3q r

4 r …

2 q

4 q

1 - n r

0 n r = 给两正整数 和,除得商 ,余数 ,写成式子 a b b a

1 q

1 r

1 1 r bq a + = , b r <

≤

1 0 Ν ∈

1 1 , q r 1) 如 等於 0,那 可以除尽 ,a 的最大公因数就是b .

1 r b a b , 如≠0,再用 除 ,得商数 ,余数 ,即:

1 r

1 r b

2 q

2 r

2 2

1 r q r b + = ,

1 2

0 r r <

≤ Ν ∈

2 2 , q r 2) 如果r =0,那麽 除尽 ,由(1), 它也除尽 又任一除尽 和b 的数,由(1)也一定除尽 ,因此r 是a 之最大公因数;

如果 r ≠0,用除得商 ,余数 即:

2 1

1 r b

1 r a

2 r a

3 1 r b ,

2 1 r q

3 r

3 3

2 1 r q r r + = ,

2 3

0 r r <

≤ Ν ∈

3 3 , q r 3) 如03=r,那麽由(2), 是b 的公因数,由(1)它也是a 的 因数,反之,如果一数除得尽 ,那由(1)它一定除得尽 , 由(2),它一定除得尽 r ,所以r 是( 的最大公因数.

2 r r , b a,

2 b , r b,

2 1 , r ) ,b a 如03≠r21>

>

r,再用除,如此进行下去,由於逐步后,一定可以找出a 的最大公因数来 (最大公因数可以是 1) .这就是辗转相除法.

3 r

2 r )

0 ( r r b ≥ >

>

L b , r q r r + = n n n n r q r r r q r b r bq a + = + = + = ? ?

1 2

3 3

2 1

2 2

1 1

1 . 简单的说,由上页 ? 式可知: 若r =0,则为a 的最大公因数.即n1?nrb,()0),(....... ) , ( ) , ( ) , ( ) , (

1 2

1 1

2 3

2 2

1 1 + = = = = = = = ? ? ? ? ? n n n n n n q r qr r r r r r r r r b b a 举例说明.>

求(42879 , 18644)=?计算式如: ( L )

2 2 ( L )

3 3 ( L )

2 2

42879 5609

158 18644

1817 79

3 (

3 R ) 11(

11 R )

42879 =

2 * 18644+5609

18644 = 3*5609+1817

5609 = 3*1817+158

1817 = 11*158+79

158 = 2*79 ?(42879,18644)=79 我们先把两排商数分成左序列( L )和右序列( R ) 由上式我们很明显的知道,辗转相除法势必将原本为除数的角色置换成被除数 的角色,故我们决定把原式改写为

2 1

11 1

3 1

3 1

2 158

79 11

1 3

1 3

1 2

5609 1817

3 1

2 5609

18644 1

2 18644

5609 2

18644 42897 + + + + = + + + + = + + = + = + =

2 这样繁杂的数式,我们称为有穷连分数 .可以简写成 [

2 ,

3 ,

3 ,

11 ,

2 ]. 其中 2,3,3,11,2 分别落於辗转相除法计算式的左右二侧,成为一个序列,我们称左边的 数2,3,2 为左序列,记 ,而右边的数 3,11 为右序列,记,.亦即

2 3

2 , , L L L

11 3 ,R R ] [

2 1

11 1

3 1

3 1

2 18644

42897 2

11 3

3 2 L R L R L = + + + + = k n n n n b a

1 .......

1 1

1 1

3 2

1 + + + + = 故,若有理数 而更深一层的定理显示出每一个有理数都可以用简单有穷连分数表示之间的充要关系. 则可ba连分数简记为 ( ) , ,

3 2

1 k n n n n R L L R L b a = ], 其中( )或( L R ) 视 之奇偶数来决定. 此刻 , 我们将连分数的结果 , 倒算回去 , 得k236

543 236

71 2

71 23

1 2

3 1

2 2

1 11

1 3

1 3

1 2 = + = + = + = + + + +

3 +

23 2

1 +

3 + 而236

543 就是原值

18644 42897 的既约分数.若依次截段得: [

2 ] =

2 =

1 2 , [

2 ] =

3 ,

3 7

3 1

2 = + , [

2 ] =

3 ,

3 ,

10 23

3 1

3 1

2 = +

11 ,

3 ,

3 ,

2 113

260 11

1 3

1 3

1 2 = + + + 这些在分母小於自己以前的分数里,没有比自己更接近

236 543 .称这些数为渐近分数;

要说明 很容易,以113

260 为例,首先

113 236

1 113

260 236

543 * = ? 令xy是任一分母小於

113 的分数,那麽

113 236

1 236

1 236

236 543

236 543 ? >

≥ ? = ? x x y x x y 进一步发现连分数渐进方式,第一个渐近分数比

236 543 小,第二个渐近分数比它大,第三 个又比它小, 以大小大小方式来渐进夹击……, 我们不禁好奇,连分数似乎是有用的. 然而,代数与几何的关系是密不可分的 . 因此,我们期待能用一种简单的图形来表达 我们所计算出来的连分数.在这之前,先来介绍一种序列-法雷序列. 首先,定义出一个新的 加法符号 ,其运算方式为:则下列有一个性质是值得注意的. a c a b d b + = + c d 例如:

5 3

7 4

2 5

1 3

2 1 = + + = >

假设 d c b a <

,则acbd必在 b a 和dc之间,换句话说: d c d b c a b a <

+ + <

[证明] d c b a <

c b c a b a c a b d b a ab bc ab ad bc ad + + <

? + <

+ ? + <

+ ? <

? ) ( ) ( 同理可推得 a c c b d d + <

+

3 仿照巴斯卡三角的基本模型,将所有既约分数经由 运算,利用下表一系列的写出来.

1 1

6 5

5 4

4 3

3 2

5 3

2 1

5 2

3 1

4 1

5 1

6 1

1 0

1 1

5 4

4 3

3 2

5 3

2 1

5 2

3 1

4 1

5 1

1 0

1 1

4 3

3 2

5 3

2 1

5 2

3 1

4 1

1 0

1 1

4 3

3 2

2 1

3 1

4 1

1 0

1 1

3 2

2 1

3 1

1 0

1 1

2 1

1 0

1 1

1 0

7 6

5 4

3 2

1 F F F F F F F 这里每一行从

1 0 开始,以11结尾,其它数自左至右按增加序列排列;

第n行真分数是由所有分母小於或等 於 的真分数所组成,我们称之为 n n 阶 法雷序列.仔细观察此表,又发现每阶 法雷序列都满足了三个性质,如下性质

二、性质

三、性质四: >

任何一对法雷序列上相邻的分数 d c b a <

,得bc ad ? 的值是1.相反的;

如果相邻二分数的 d c b a >

,则1?=?ad bc . >

对任何三个法雷序列上相邻的分数 , , , f e d c b a 中间一个分数 d c 的值等於其他两个分子之和与分母之和 d c f b e a = + + >

若任一对法雷序列上相邻分数 a b 、 c d 满足

1 ± = ? ad bc 时,我们称 为可连通的,则dbca++与ab、dbca++与c亦是可连通的. d [证明] a b d b a c ab ad ba bc ad bc m1

1 ( ) ( ) a c d b d c ad cd bc cd ad bc m 於是,由性质

一、

二、

三、四,我们可以开始构造法雷(序列)图形了. :利用一些半圆形将同等级(阶、行)的数连接起来,并区分出第 一等级法雷(序列)图形、第二等级法雷(序列)图形、……, 第一等级法雷(序列)图形

4 1

0 1

1 1

2 1

3 1

4 2

1 2

3 7

2 5

2 第二等级法雷(序列)图形

1 0

1 1

1 2

1 3

1 4 第三等级法雷(序列)图形 第四等级法雷(序列)图形 如此进行下去,特别注意,这些等级并不会将

0 1 和11几等分.配合性质

一、性质二,我 们清楚的知道,半圆形只连结 a b 和cd,在

1 ± = ? ad bc 时.而且由性质三,四知道, 当则下一个等级 b a 和dbca++以及 d b c a + + 和dc必定是可连结的.

2 1

3 2

1 1

3 4

4 4

1 4

3 2

1 3

2 1

1 3

4 2

3 3

5 1

2 1

0 3

1 5

4 7

4 2

3 3

5 1

2 1

0 3

1 b a <

d c b a <

d b c a + + <

d c 所以今后只要先通过第一等级的检验,图形便可顺利表示且画出. 相反的,现在我们以有理数点 b a 出发,若想找出其法雷(序列)图形,首要问题便是找出边界 点bayx>

,使bx 构造出第一等级.假设已找出一组解

1 = ? ay , x r y s = = ,使1=?as br ,

5 则ba与sr可连结,再经由 的运算,便可在 b a 和sr间画出每个等级,如图所示:

1 ) ( ) ( = ? = + ? + = + ? + = ? as br as nba br nba s nb a r na b ay bx 由上式可以清楚的知道,当,na r a n nb s b + → ∞ → + . 而有时,我们所找的一组解并非是边 界解,这时候怎麽找 b a ……………… s b r a + +

3 3 s b r a + +

2 2 s b r a + + s r 边界点的问题即化成解 整数解 的问题.使ba开始向右发展到最边界,假设

1 = ? ay bx , 其中 , x p y q = = 为另一组解(非边界解),知1=?aq bp ,又已知

1 = ? as br ,可推导: ( ) ( ) ( ) ( )

0 0 , , bp aq br as b p r a q s b p r a q s a p r b q s p r na n q s nb p r na q s nb r p na s q nb ? ? ? = ? ? = ? ? ? = ? ? ? ∈Ζ = ? 或或srbasbra??33sbra??22sbra??由上推导得 r p na s q nb = ? = ? 或 .因此,只要透过任意找 出的一组整数解 , x p y q = = ,一直不断的分别减去 , , a b 最 后一定可以找到我们要的边界解.当然,在减的过程中,分母、分子会不断的少;

我们也要尝试著一直的分别减下去, 直到分子、分母不为负的时候即可停止.结论正是法雷图形 上早已经看出来.关於 b a 左侧结果和右侧是相同的. 如下图所示: 由下图清楚知当 b a s nb r na n → ? ? ∞ → , 以法雷(序列)图形来表示连分数 由制作法雷(序列)图形的说明当中,可以清楚的看出,对任一有理分数都可以在法雷 图形的主体架构中轻易的找到.现在,我们更进一步的观察,著手於法雷(序列)图形的两个 特性 平移 和 倒数 . 平移6[证明] 假设 b a 与dc是一个等级连结的,则1=?ad bc ,然后 b nb a n b a ? = ? 和dnd c n d c + = ? 因为 n ? ∈Ζ

1 ) ( ) ( = ? = + ? ? = ? ? ? cb da nbd cd nbd da b nd c nb a d 知anb?和cnd?这两数仍然是可以构造出一个等级连结........