PDF《2016 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案》

2016 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案

1 2016 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案

一、选择题:1 ?

8 小题,每小题

4 分,共32 分.

下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题 目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸 ... 指定位置上. (1) 若反常积分

0 1

1 ( ) a b dx x x ?? ? ? 收敛, 则()(A)

1 a ? 且1. b ? (B)

1 a ? 且1. b ? (C)

1 a ? 且1. a b ? ? (D)

1 a ? 且1ab??.【答案】(C) 【解析】排除法.根据被积函数特点,取0a?,1001(1 ) (1 )

1 b b dx x x b ?? ? ?? ? ? ? ? ?

1 1

1 [ lim 1]

1 (1 )b x b x ? ??? ? ? ? ? 收敛,只需保证

1 b ? 即可.说明,

1 a ? 可以使原广义积分收敛,排除 B 和D. 再取 1,

2 a b ? ? ? ,

2 2

2 0

0 0

0 (1 )

1 1 (1 ) (1 )

1 (1 ) xdx x dx dx dx x x x x ?? ?? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

0 0

1 ln(1 )

1 x x ?? ?? ? ? ? ? ?? ? ,发散,说明满足 A 的条件,但是原广义积分发散,排除 A. (2) 已知函数

2 1

1 1 ( ), , ( ) ln , , x x f x x x ? ? ? ? ? ? ? 则()fx的一个原函数是 ( ) (A)

2 1

1 1

1 ( ) , , ( ) (ln ), . x x F x x x x ? ? ? ? ? ? ? ? (B)

2 1

1 1

1 1 ( ) , , ( ) (ln ) , . x x F x x x x ? ? ? ? ? ? ? ? ? (C)

2 1

1 1

1 1 ( ) , , ( ) (ln ) , . x x F x x x x ? ? ? ? ? ? ? ? ? (D)

2 1

1 1

1 1 ( ) , , ( ) (ln ) , . x x F x x x x ? ? ? ? ? ? ? ? ? 【答案】(D) 【解析】当1x?时,

2 1 ( ) 2( 1)

2 F x x dx x x C ? ? ? ? ? ? ;

当1x?时,

2 ( ) ln ln F x xdx x x x C ? ? ? ? ? ;

且21111lim ( ) lim(

2 )

1 x x F x x x C C ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ,

2 2

1 1 lim ( ) lim( ln )

1 x x F x x x x C C ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? .由11lim ( ) lim ( ) (1) x x F x F x F ? ? ? ? ? ? 可知:

1 2 C C ? .

2016 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案

2 取12CCC??,其原函数为

2 2 ,

1 ( ) ln ,

1 x x C x F x x x x C x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? .当1C?时,对应的原函数为 D. (3) 若2222221111 y x x y x x ? ? ? ? ? ? ? ? 是微分方程 ( ) ( ) y p x y q x ? ? ? 的两个解,则()qx?()(A)

2 3

1 x x ? ( ). (B)

2 3

1 ( ). x x ? ? (C)

2 1 . x x ? (D)

2 1 . x x ? ? 【答案】(A) 【解析】因为

2 2

2 1( ) (1 )

1 y x x x ? ? ? ? 和2222()(1 )

1 y x x x ? ? ? ? 为()()ypxyqx???的两个解, 那么,

2 2

1 ( ) ( )

2 1 y x y x x ? ? ? 为()0ypxy???的解.代入该齐次方程可得

2 2

2 ( )

2 1

0 1 x p x x x ? ? ? ? ? ,故,

2 ( )

1 x p x x ? ? ? .再将

2 2

2 2 ( ) (1 )

1 y x x x ? ? ? ? 代入原方程可得

2 2

2 2

2 2

4 (1 ) [(1 )

1 ] ( )

1 1 x x x x x x q x x x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ,所以,

2 ( )

3 (1 ) q x x x ? ? ,选择 A. (4) 已知函数

0 1

1 1

1 2

1 , , ( ) x x f x x n n n n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 则()(A)

0 x ? 是()fx的第一类间断点. (B)

0 x ? 是()fx的第二类间断点. (C) ( ) f x 在0x?处连续但不可导. (D) ( ) f x 在0x?处可导. 【答案】(D) 【解析】因为

0 0 lim ( ) lim

0 x x f x x ? ? ? ? ? ? ,

0 1 lim ( ) lim

0 n x f x n ? ?? ? ? ? ,可得,

0 0 lim ( ) lim ( ) (0) x x f x f x f ? ? ? ? ? ? , 故()fx在0x?点连续.又因为

0 0 ( ) (0)

0 (0) lim lim

1 0

0 x x f x f x f x x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ,

0 0

1 ( ) (0) (0) lim lim

0 0 x x f x f n f x x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ,而111xnn???,有

1 1 n n x ? ? ? ,当0x??时, n ? ? , 可得

1 1

1 1(

0 ) n x nx n ? ? ? ? ? ? ,那么 (0)

1 f? ? ? .所以, ( ) f x 在0x?点可导.选择 D.