PDF《2018 年北京市海淀区高三（理）期中数学考试逐题解析》

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11 ①当时,成立. ②当时, 此时不成立. ③当时, 此时成立. 综上, 的取值范围为

三、解答题共

6 小题,共80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或 证明过程. 15.(本小题

13 分) 北京新东方优能中学&优能

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12 设 是等比数列, 为其前 项的和,且,.(Ⅰ)求 的通项公式;

(Ⅱ)若 ,求 的最小值. 【答案】 的最小值为

8 【解析】 (Ⅰ) 是等比数列, , , ,解得 即.(Ⅱ)由(Ⅰ)得,显然 为奇数时,不等式不成立, 当 为偶数时,即 ,解得 所以 的最小值为 8. 16.(本小题

13 分) 已知函数 . (Ⅰ)求 的值;

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13 (Ⅱ)求函数 在 上的单调递增区间. 【答案】 ;

【解析】 (Ⅰ) ;

(Ⅱ) , , , , 即 的定义域为 ;

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14 方法 1: 由正弦函数 的单调递增区间 得 解得 ,且 所以函数 在 上的单调递增区间为 ;

方法 2: 由正弦函数 的单调递增区间 得 解得 所以函数 在 上的单调递增区间为 . 17.(本小题

13 分) 已知函数 . 北京新东方优能中学&优能

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15 (Ⅰ)当时,求函数 的单调区间;

(Ⅱ)求证:直线 是曲线 的切线;

(Ⅲ) 写出 的一个值,使得函数 有三个不同的零点 (只需直接写 出数值). 【解析】 (Ⅰ)当时, , 定义域为 , , 令得,当变化时, , 变化情况如下表: 极大值 极小值 所以, 的单调增区间是 , ,单调减区间是 . (Ⅱ) , 设切点为 ,则,解得 或,,

点不在切线上,舍去;

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16 并且点 在直线 上, 故直线 是曲线 的切线. (Ⅲ) ( 即可) 18.(本小题

13 分) 在中, , . (Ⅰ)若 ,求 的值;

(Ⅱ)若 ,求 的面积. 【答案】5;

【解析】 (Ⅰ)在中,由正弦定理得: ,所以 . 因为 ,且 ,所以 . 因为 , . 所以 . (Ⅱ)因为 ,所以 . 北京新东方优能中学&优能

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17 在中,由余弦定理得: . 又因为 , ①当时, ,解得 . 此时 . ②当时, ,解得 . 而方程组 无解,故舍去. 综上, . 19.(本小题

14 分) 已知函数 . (Ⅰ)求函数 的极值;

(Ⅱ)求证:存在 ,使得 . 【解析】 (Ⅰ) , 定义域为 ,且.所以 . (1)当时, ,令 ,得 , 北京新东方优能中学&优能

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18 当 变化时, , 变化情况如下表: 极小值 所以, 极小值为 ,无极大值. (2)当时, ,令 ,得 , 当 变化时, , 变化情况如下表: 极大值 所以, 极大值为 ,无极小值. 综上所述,当,极小值为 ,无极大值. 当时, 极大值为 ,无极小值. (Ⅱ) (1)当时, ,结论成立, (2)当时, 极小值为 故"存在 ,使得 "等价于" " 北京新东方优能中学&优能

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19 设 ,则 , 令得当变化时, , 变化情况如下表: 极大值 所以 在 上单调递增,在 上单调递减, . 所以 , 所以 ,存在 ,使得 . 综上所述,存在 ,使得 . 20.(本小题

14 分) 记无穷数列的前项中最大 值为,最小 值为 ,令.(Ⅰ)若 ,请写出 的值;

(Ⅱ)求证:"数列 是等差数列"是"数列 是等差数列"的充 要条件;

(Ⅲ)若,,

,求证:存在 ,使得 ,有.北京新东方优能中学&优能

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20 【解析】 (Ⅰ) ;

(Ⅱ)证明: (必要性)当数列 是等差数列时,设其公差为 , 当时, ,所以 ,所以 , , 当时, ,所以 ,所以 , , 当时, ,所以 ,所以 , , 综上,总有 , 所以 ,所以数列 是等差数列;