PDF《以简驭难》

28 中学数学教学 2017年第2期 以简驭难 ――一道经典例题的深度研读 上海市向明中学 侯宝坤 (邮编:200020) 课本例题大多是经过编写者精心选择的,有 些例题甚至经过几代人磨砺,被多套教材采用 的,是有很大教学价值的问题.

放弃对教材例题 的引用和挖掘,犹如人宝山而空回.使用教材例 题、研究教材例题教学价值应成为教师的自觉行 动,同时也应把对教材的阅读与研究习惯传输给 学生,培养学生的阅读习惯,养成自主学习、自我 反思的能力.下面就以一道简单的课本例题来谈 谈怎样根据不同学段要求,较为充分地研读例 题,挖掘其所蕴藏知识、方法、思想上的教学 价值. 例题写出{1,2,3)的所有子集和真子集. 这道例题在人教版的各版教材中都有,现在 的北师大版、苏教版、沪教版、湘教版也都引用了 这道例题,应该是一道经典的例题. 1例题本体的深度研读 1.1例题的一般化处理 一般化是促进数学抽象的需要,是对结论价 值、方法应用的深刻理解.一个数学问题的一般 化包括问题呈现形式的一般化、结论一般化和方 法一般化. 呈现形式一般化,可以将具体的数字变成抽 象的字母,并将元素的个数一般化,形成 问题1写出{a,,

a:,…,口.)的所有子集和 真子集. 结论一般化,就是对一般化的问题形成的结 论,对引例而言就是问题1的结论:有,z个元素 的集合子集共有2"个,真子集共有2"一1个.这 个结论可以让高一学生通过列举用不完全归纳 法得到,高

二、高三则可以作为数学归纳法的一 个例子使用. 方法一般化,就是解决问题的方法是否有一 般性,是否有更广阔的应用价值,这往往是例题 最值得研究的地方. 引例按元素个数和顺序找子集的列举法,是 完全可以用到佗元集合上,在高一学生的思维最 近发展区,学生完全可以列举发现: p,{n),{b),{c),{a,b),{a,c),{b,f), {12,b,c};

{d,,

{a,d),{b,d),{c,d},{口,b, d),{a,c,d},{b,f,d),{a,b,c,d). 体悟出每增加一个元素,子集个数增加一 倍,新增加的子集就是原来子集在添上新元素形 成的,即子集个数满足递推关系a.一2a.小这个 方法告诉学生,要学会从问题产生的顺序上摸清 解题思路,要关注前后联系,特别是新对象对问 题的影响,形成主动联系的学习习惯. 子集个数问题也是一个装球入盒问题,是典 型的计数问题.从形成子集的元素个数分类人手 有:C:+C:+C:+…+C:一2";

从某个指定的 元素"取"与"不取"两种状态人手,用乘法原理 有:2*2*2*…*2―2".将问题换个背景,进一"个2 行跨界处理,也是处理数学问题的有力手段,是 数学知识统一性的体现,对培养学生普遍联系的 观点、拓宽知识面是非常有益的;

善于从不同角 度研究一个知识也是对知识深刻理解的表现,是 学习能力提高的表现. 2对例题不足的补充 认知差异使学生对相关概念、方法理解的程 度也会不同,有些问题例题中可能没有涉及,有 些可能需要再做些强化,才能使学生有更深透的 理解. 对于引例,如想突出和前一节集合的联系, 考查集合的互异性,也可以在引例前设计: 问题2 (n,2)∈{0,1,2},则a一;

如觉得引例中勿会遗忘,经过点明学生会补 充,但不一定真理解到p的意义,可以设计: 问题3.{z ax一0)∈(1,2),求a的 取值;

有人认为上面都是离散的数集,对象简单, 方法仍是列举没有突破,可以设计: 问题4 {x a≤x≤2a+1)∈{z I一1≤ X≤3),求a的取值范围;