PDF《2019 年北京市东城区高三一模数学考试（理科）逐题解析》

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1 2019 年北京市东城区高三一模数学考试(理科)逐题解析 2019.

4 本试卷分为第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,满分

150 分,考试 时长

120 分钟.考生务必将答案写在答题纸上,在试卷上作答无效.考试结束后,将 本试卷和答题纸一并交回. 第一部分(选择题 共40 分)

一、选择题共

8 小题,每小题

5 分,共40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合 题目要求的一项. 1. 已知集合 , ,则(A) (B) (C) (D) 【答案】C 【解析】本题考查集合和不等式的运算. 解不等式 ,解得 或 ,即 或 解不等式 ,解得 ,即 所以 故选 C. 北京新东方优能中学&

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2 2. 在复平面内,若复数 对应的点在第二象限,则 可以为 (A) (B) (C) (D) 【答案】B 【解析】本题考查复数的性质和运算. 因为复数 对应的点在第二象限,所以实部小于 ,虚部大于 分别代入 个选项 A 选项:原式 ,此时实部大于 0,虚部小于 0,不满足条件;

B 选项:原式 ,此时实部小于 ,虚部大于 ,满足条件;

C 选项:原式 ,此时实部大于 ,虚部大于 ,不满足条件;

D 选项:原式 ,此时实部大于 ,虚部等于 ,不满足条件. 故选 B. 3. 在平面直角坐标系 中,角以为始边,终边经过点 ,则下列各式 的值一定为负的是 (A) (B) (C) (D) 【答案】D 【解析】本题考查三角函数的性质. 角 的终边经过点 ,则角 为第二或第三象限角 当角 为第二象限角时, , , 北京新东方优能中学&

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3 选项 C,D 一定成立;

选项 A,B 不成立,排除 当角 为第三象限角时, , , 选项 C 不成立,排除;

选项 D 仍成立 故选 D. 4. 正方体被一个平面截去一部分后,所得几何体的三视图 如图所示,则截面图形的形状为 (A)等腰三角形 (B)直角三角形 (C)平行四边形 (D)梯形 【答案】A 【解析】本题考查三视图. 将三视图还原后如图所示,得到被截去三棱锥 的正方体 由俯视图可知: 由正视图和侧视图可知 , 均为直角边长为 和的三角形的斜边,所以 所以截面图形 为等腰三角形 故选 A. 5. 若,满足 ,则 的最大值为 (A) (B) (C) (D) 【答案】D 北京新东方优能中学&

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4 【解析】本题考查线性规划. 由可行域知 ∴ 令 如图所示,通过平移可知当直线 经过点 处时 直线的纵截距最小,此时 最大 解得 ∴ 故选 D. 6. 已知直线 过抛物线 的焦点 ,与抛物线交于 , 两点,与其准线交于点 ,若点是的中点,则线段 的长为 (A) (B) (C) (D) 【答案】C 【解析】本题考查抛物线. 由题可知: ,准线 过点 作过作与轴交点为 北京新东方优能中学&

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5 ∵ 是 中点 ∴在中为中位线 ∴ 由抛物线的定义: , ∴ ,∴ ∴ ∵ ∴ ① ② 由①②得 故选 C. 7. 南北朝时代的伟大科学家祖在数学上有突出贡 献,他在实践的基础上提出祖原理: 幂势既同, 则积不容异 .其含义是:夹在两个平行平面之间 的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面 所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这 两个几何体的体积相等.如图,夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为 , ,被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面的面积分别为 , ,则 , 相等 是 , 总相等 的(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 北京新东方优能中学&

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6 【答案】B 【解析】本题考查充要条件. 充分条件:反例:两个完全相同的圆台 一正一倒放置在两平行平面之间 则 无法保证 必要条件:若 由祖原理,则必有 故选 B. 8. 已知数列 满足: ,则下列关于 的判断正确的是 (A) 使得 (B) 使得 (C) 总有 (D) 总有 【答案】D 【解析】本题考查数列的综合应用. 因为 , 当时, 则时,由数学归纳法可知, 为正数列. 北京新东方优能中学&

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7 由均值不等式得: 当且仅当 时等号成立, 此时 故A错. 当时, 由A知即为每项都是 的常数列,或递减的正数列. 故B错. 当时,对故C错D对. 故选 D. 北京新东方优能中学&

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8 第二部分(非选择题 共110 分)

二、填空题共

6 小题,每小题

5 分,共30 分. 9. 在 的展开式中, 的系数为 .(用数字作答) 【答案】60 【解析】本题考查二项式定理. ,令得, 系数为 10. 在中,若 ,则 . 【答案】 【解析】本题考查解三角形. 由正弦定理得: , 北京新东方优能中学&

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9 11. 若曲线 ( 为参数)关于直线 ( 为参数)对称,则 ;

此时原点 到曲线 上点的距离的最大值为 . 【答案】 【解析】本题考查参数方程与极坐标. 曲线 ,圆心坐标 , 直线 圆关于直线 对称 圆心在直线上 12. 已知向量 ,向量 为单位向量,且 ,则 与 夹角为 . 【答案】 【解析】本题考查平面向量数量积. 由题意得, , 向量夹角为 夹角为 北京新东方优能中学&

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10 13. 已知函数 ,若 都有 成立,则满足条件的一个区间是 . 【答案】 【解析】本题考查函数图象画法和凹凸性. 令 则有 满足上凸函数定义 由于函数图象需在区间 上是上凸的 因此 只要在区间 内即在区间 内即可 14. 设是的两个子集,对任意 ,定义: ①若 ,则对任意 , ;

②若对任意 , 则 的关系为 . 【答案】 【解析】本题考查集合的应用. ①因为 可分为两种情况 1. ,此时对于任意的 , 或 ,此时 2. ,此时分为三种情况,由韦恩图: 【1】 【2】 北京新东方优能中学&

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11 【3】 经计算, ②根据题意, 时时即与为对立事件 所以 北京新东方优能中学&

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三、解答题共

6 小题,共80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (本小题满分

13 分) 已知函数 ,且.(Ⅰ)求 的值及 的最小正周期;

(Ⅱ)若 在区间 上单调递增,求 的最大值. 【解析】 (Ⅰ) (Ⅱ)因为 , 若 单调递增,则需满足 , ,解得 , 北京新东方优能中学&

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13 所以函数 的单调增区间为 , 当时,函数 的单调增区间为 若函数 在区间 上单调递增,则 所以实数 的最大值为 16. (本小题满分

13 分) 改革开放

40 年来,体育产业蓬勃发展反映了 健康中国 理念的普及.下图是我国

2006 年至

2016 年体育产业年增加值及年增速图.其中条形

图表示体育产业年增加值 (单位:亿元),折线

图表示体育产业年增长率(%). (Ⅰ)从2007 年至

2016 年随机选出

1 年,求该年体育产业年增加值比前一年的体育产 业年增加值多

500 亿元以上的概率;

(Ⅱ)从2007 年至

2016 年随机选出

3 年,设 是选出的三年中体育产业年增长率超过 20%的年数,求 的分布列与数学期望;

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14 (Ⅲ)由图判断,从哪年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大?从哪年开始连续 三年的体育产业年增加值方差最大?(结论不要求证明) 【解析】 (Ⅰ)2007 年至

2016 年的体育产业年增加值分别为 983,1265,1555,2100,2220,2740,3136,3563,4041,5494.4,6475;

其中年增加值比前一年的体育产业年增加值多

500 亿元以上的有

2009 年、2011 年、

2015 年、2016 年,共4年;

记 这十年中年增加值比前一年的体育产业年增加值多

500 亿元以上 为事件 , 所以 (Ⅱ)由图知从

2007 年至

2016 年中,体育产业年增长率超过 20%的有

4 年,分别是

2007 年、2008 年、2009 年、2011 年, 所以, 可能取得值为 0,1,2,3. ;

;

;

;

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15 所以随机变量 的分布列为:

0 1

2 3 所以随机变量 的数学期望为: (Ⅲ)2008 年或

2009 年;

2014 年17. (本小题满分

14 分) 如图,在棱长均为 的三棱柱 中,点 在平面 内的射影 为与的交点, 分别为 的中点. (Ⅰ)求证:四边形 为正方形;

(Ⅱ)求直线 与平面 所成角的正弦值;

(Ⅲ)在线段 上存在一点 ,使得直线 与平 面 没有公共点,求 的值. 【解析】 (Ⅰ) 为点 在平面 内的射影 平面 在和中, 边公用 北京新东方优能中学&

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16 三棱柱各边长为 四边形 为菱形 四边形 为正方形 (Ⅱ)过点 作由(Ⅰ)知 平面 所以 以为轴, 为轴, 为轴,建立空间直角坐标系 如图所示,则,,

为中点 , 为 中点 设平面 的法向量为 则 ,即 取 ,则 北京新东方优能中学&

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17 设 与平面 所成角为 ,则(Ⅲ)设 ,则 设平面 的法向量为 则 ,即 取 ,则 则则,北京新东方优能中学&

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18 18. (本小题满分

13 分) 设函数 的极小值点为 . (Ⅰ)若 ,求 的值及 的单调区间;

(Ⅱ)若 ,在曲线 上是否存在点 ,使得点 位于 轴的下方?若存在, 求出一个 点坐标;

若不存在,说明理由. 【解析】 (Ⅰ) 的定义域为 , 因为 有极小值点 所以 解得 ,经检验符合题意 此时 令得或(舍) 则随的变化情况如下表: K 极小值 J 所以 的单调减区间是 ,单调增区间是 北京新东方优能中学&

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19 (Ⅱ)在曲线 上不存在点 ,使得点 位于 轴的下方.证明如下: 令得或(舍) 因为 的极小值点为 ,且 所以 ,即则随的变化情况如下表: K 极小值 J 所以 在 单调递减,在 单调递增 所以 因为 所以 从而 ,即曲线 恒在 轴的上方 所以在曲线 上不存在点 ,使得点 位于 轴的下方 北京新东方优能中学&

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20 19. (本小题满分

13 分) 已知椭圆 与 轴交于两点 ,与 轴的一个交点为 , 的面积为 . (Ⅰ)求椭圆 的方程及离心率;

(Ⅱ)在 轴右侧且平行于 轴的直线 与椭圆 交于不同的两点 ,直线 与直 线 交于点 .以原点 为圆心,以 为半径的圆与 轴交于 两点(点 在点 的左侧),求 的值. 【解析】 (Ⅰ)因为 由椭圆方程知椭圆 是焦点在 轴的椭圆 故可得到: 所以 所以椭圆 的方程为 由得所以椭圆 的离心率为 (Ⅱ)设点 ,不妨设 设 北京新东方优能中学&

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21 由即因为 ,所以 化简得 因为 所以 即 所以点 的轨迹为双曲线 的右支, 两点恰为其焦点, 为双曲线的顶 点,且 所以由双曲线定义可得 北京新东方优能中学&

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22 20. (本小题满分

14 分) 已知 ,数列 的各项均为不大于 的正整数. 表示 中 的个数 .定义变换 , 将数列 变成数列 ,其中 . (Ⅰ)若 ,对数列 ,写出 的值;

(Ⅱ)已知对任意的 ,存在 中的项 ,使得 . 求证: 的充分必要条件为 ;

(Ⅲ)若 ,对于数列 ,令.求证: . 【解析】 (Ⅰ) (Ⅱ)证明: 已知对任意的正整数 ,存在 中的项 ,使得 所以 均不为零 必要性:若 ,由于 所以有 北京新东方优能中学&

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23 通过解此方程组,可得 成立 充分性:若 成立 不妨设 ,可以得到 所以有: 所以 成立 (Ⅲ)设 的所有不同取值为 ,且满足 不妨设 其中 又因为 ,根据变换 有: 所以 即 北京新东方优能中学&

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24 所以 因为 所以有 因此, 即 从而则 因此结论成立 ........