PDF《数学中竟然还有这样的定理！》

he Joy of Mathematics 数学文化/第2卷第4期29 数学趣谈 数学中竟然还有这样的定理! 果壳网 谁说数学是枯燥的?在数学里,有很多欢乐而又深刻的数学定理.

这些充满生活气息的数 学定理,不但深受数学家们的喜爱,在数学迷的圈子里也广为流传. 假设有一条水平直线,从某个位置出发,每次有 50% 的概率向左 走1米, 有50% 的概率向右走

1 米.按照这种方式无限地随机游走下去, 最终能回到出发点的概率是多少?答案是 100% .在一维随机游走过程 中,只要时间足够长,我们最终总能回到出发点. 现在考虑一个喝醉的酒鬼,他在街道上随机游走.假设整个城市的 街道呈网格状分布,酒鬼每走到一个十字路口,都会概率均等地选择一 条路(包括自己来时的那条路)继续走下去.那么他最终能够回到出发 点的概率是多少呢?答案也还是 100% .刚开始,这个醉鬼可能会越走 越远,但最后他总能找到回家路. 不过,醉酒的小鸟就没有这么幸运了.假如一只小鸟飞行时,每次 喝醉的小鸟 定理:喝醉的酒鬼总能找到回家的路,喝醉的小鸟则 可能永远也回不了家. he Joy of Mathematics

30 数学文化/第2卷第4期 数学趣谈 也就是说,如果在商场的地板上画了一张整个商场的地图,那 么你总能在地图上精确地作一个"你在这里"的标记.

1912 年,荷兰数学家布劳威尔(Luitzen Brouwer)证明了这么 一个定理 :假设 D 是某个圆盘中的点集,f 是一个从 D 到它自身的 连续函数,则一定有一个点 x ,使得 f(x) = x .换句话说,让一个圆 盘里的所有点做连续的运动,则总有一个点可以正好回到运动之前 的位置.这个定理叫做布劳威尔不动点定理(Brouwer Fixed Point Theorem) . 除了上面的"地图定理" ,布劳威尔不动点定理还有很多其他奇 都从上、下、左、右、前、后中概率均等地选择一个方向,那么它很有 可能永远也回不到出发点了.事实上,在三维网格中随机游走,最终能 回到出发点的概率只有大约 34% . 这个定理是著名数学家波利亚(George Pólya)在1921 年证明的. 随着维度的增加,回到出发点的概率将变得越来越低.在四维网格中随 机游走,最终能回到出发点的概率是 19.3% ,而在八维空间中,这个概 率只有 7.3% . 定理:把一张当地的地图平铺在地上,则总能在地图 上找到一点,这个点下面的地上的点正好就是它在地 图上所表示的位置. "你在这里" he Joy of Mathematics 数学文化/第2卷第4期31 数学趣谈 想象一个表面长满毛的球体,你能把所有的毛全部梳平,不留 下任何像鸡冠一样的一撮毛或者像头发一样的旋吗?拓扑学告诉你, 这是办不到的.这叫做毛球定理(Hairy Ball Theorem) ,它也是由布 劳威尔首先证明的.用数学语言来说就是,在一个球体表面,不可能 存在连续的单位向量场.这个定理可以推广到更高维的空间 :对于任 意一个偶数维的球面,连续的单位向量场都是不存在的. 毛球定理在气象学上有一个有趣的应用 :由于地球表面的风速 和风向都是连续的,因此由毛球定理,地球上总会有一个风速为

0 的 地方,也就是说气旋和风眼是不可避免的. 妙的推论.如果取两张大小相同的纸,把其中一张纸揉成一团之后放 在另一张纸上,根据布劳威尔不动点定理,纸团上一定存在一点,它正 好位于下面那张纸的同一个点的正上方. 这个定理也可以扩展到三维空间中去 : 当你搅拌完咖啡后,一定能 在咖啡中找到一个点,它在搅拌前后的位置相同(虽然这个点在搅拌过 程中可能到过别的地方) . 不能抚平的毛球 定理:你永远不能理顺椰子上的毛.