PDF《强收敛到两个映射的公共不动点定理》

第4卷第

5 期2005 年9月杭州师范学院学报(自然科学版) Jωrnal

01 Hangzhou Teachers COllege(Natural Science Edition) 文章编号:

1008 -

9403 (2005)

05 一0336 一04 完备凸度量空间中 Ishikawa 迭代序列 强收敛到两个映射的公共不动点定理 乔庆荣 (淮海工学院东港学院.

江苏连云港 222069) Vo1. 4No.5 Sep.

2005 摘要:在完备凸度量空间 (X ,ρ) 中,设S、T是满足条件(A)或(B)的闭凸子集上的两个自映射,从两方面 研究了映射 S 、 T 的公共不动点问题:1.如果映射 S 、 T 生成的 Ishikawa 迭代序列强收敛,则收敛点为 S 、 T 的公 共不动点 ;

2. 如果 S 、 T 的公共不动点非空,则映射 S 、 T 生成的 Ishikawa 迭代序列强收敛到 S 、 T 的公共不动点. 结论改善并推广了部分作者的相关结果口 -5J.[川 关键词:完备凸度量空间;

Ishikawa 迭代;

公共不动点 中图分类号: 0177.91 MSC2000:46A03 文献标识码 :A

1 预备知识 定义 1[6J 设X是一个度量空间,

1 = [0 ,口,连续映射 W:XXXX1 → X 被称为 X 上的一个凸结构, 如果 \:j x , y E X , λ 仨I,有ρ[z , WCx , y"U] 三二年 Cz , x) 十(1一λ)ρCz ,川,\:j z 仨X. 具有凸结构的度量空 间X叫凸度量空间. 注1Banach 空间或其任何凸子集都是凸度量空间,其上的凸结构可取为 :WCx , y , λ) = ?x 十(1- ?)y. 更一般地,如果 X 是一个赋以平移不变度量 p 的线性空间并满足性质 :pCλx+ (1 -?)y , O) 三年(工, 0) 十(l一λ)ρ句, 0) ,则X是一个凸度量空间. 定义

2 设CX , ρ) 是一个具有凸结构 W 的凸度量空间, C 是X的一个非空闭凸子集,

5 、 T 是C上的两 个自映射,由S、T生成的 Ishikawa 迭代序列怡" }定义为: (xo ξC CI5)~ y" = WC5x" , 鸟,品) n 二三

0 ,

0 至仇,品豆

1 lx叶1 = WCTy" , X" , α" )

2 主要结果 定理

1 设CX , ρ) 是一个具有凸结构 W 的完备凸度量空间, C 是X的一个非空闭凸子集,

5 、 T 是C上的两个自映射且满足条件 CA) : ρ( 岛,Ty) 三二叩 Cx , y) +bpC 岛,x) 十cpCTy , y) , 其中 a , b , c 是非负实数且 收稿日期 :2005→05~22 作者简介:乔庆荣(1

965 一),女,江苏连云港人,淮海工学院东港学院讲师,硕士,主要从事泛函分析方面的研究. 第5期乔庆荣:完备凸度量空间中 Ishikawa 迭代序列强收敛到两个映射的公共不动点定理

337 a+b 十c< l, {Xn} 是由 S 、 T 生成的 Ishikawa 迭代序列且 lim in缸n >

0 ,若{Xn} 收敛到户,则户是 S , T 的n→∞ 惟一公共不动点. 故 证明 ρ( 工,y) 三二 ρ[X , W(X , y"U] + ρ[y , W(X , y , λ)] 三年(工,X) 十(1- ),.)ρ归,y) +).ρ 句,X) + (1 -).)ρ (Y'Y) = p( 工'Y) ρ[X , W(工,y,λ)] = (1一λ)ρ(工'Y) ρ[y , W(X , y p (X , y) 由式 (2) 与CIS) 得ρ(Xn , 工叶1 )ρ[工n , W(TYn'xn , αn)] = αnp(Xn , TYn) 因为 1imxn 户, lim infαη>0 ,对(3) 式两边取极限得: lim TYn = ρ 由(2) 以及 CIS) 有ρ(Xn , Yn) =p[xn , W(SXn , xn ,卢~)] = 卢nρ (SX n ,Xn) 三二 ρ(SXn , Xn ) 由条件 (A) ,可得 ρ (SX n , TYn) 手ap(Xn , Yn) 十年 (SX n , Xn) +c,ρ (TYn 'Yn) 三二 qρ(岛'Yn) + qρ (SX n ,Xn) + c[ρ(TYn'xn ) +p(Xn ,Yn)] = (a + c) ρ (Xn , Yn) +bp(Sxn ,x n) +cp(TYn' ι) 将(5) 式代人上式得 ρ (SX n , T) 三二 (α +b+c) ρ (SX n , Xn ) 十cρ (TYn , Xn) 手(a 十b+c)[ρ(Sxn , TYn) 十ρ(TYn , Xn)]+ c,ρ (TYn ,Xn) 豆(α +b 十c) ρ (Sxn , TYn) + (a+b+2c) ρ (TYn'xη) 由于 O 三二 α 十b十c