PDF《离散数学作业Problem set 19》

离散数学作业Problem set

19 Problem

1 群U4 = {1, ?1, i, ?i}的下列子集是否构成群G的子群? (1) {1, ?1} (2) {i, ?i} (3) {1, i} (4) {1, ?i}.

Problem

2 设G为群, a是G中给定元素, a的正规化子N(a)表示G中与a可交换的元素构成的 集合,即N(a) = {x|x ∈ G ∧ xa = ax}. 证明: N(a)是G的子群. Problem

3 设H是群G的子群, x ∈ G, 令xHx?1 = {xhx?1 |h ∈ H},证明 xHx?1 是G的子 群,称为H的共轭子群. Problem

4 设H和K分别为群G的r, s 阶子群,若r与s互素,证明 H ∩ K = {e}.

1 Problem

5 证明:若G中只有一个2阶元,则这个2阶元一定与G中所有元素可交换. Problem

6 设aH和bH是子群H在群G中的两个左陪集,证明:要么aH ∩ bH = ?, 要么aH = bH. Problem

7 设G是一个群, H1, H2都是G的子群.假设H1 ? H2,且H2 ? H1.证明: H1 ∪ H2不是G的子群. Problem

8 设a/GCΘIa在G中的中心化子(centralizer)为C(a) = {g ∈ G|ga = ag} 证明:C(a)是G的子群. Problem

9 设H, K是群G的两个子群.证明:当且仅当H ? K或者K ? H时,H∪K是G的 子群.利用此结论证明:a) 群G不能被它的两个真子群所覆盖(即对所有真子 集的元素取并后可以得到群G中的所有元素) .b) 群G能被它的三个真子群覆盖 吗? 2