PDF《第九章》

第九章 一元函数积分学 多元函数积分学 重积分 曲线积分 曲面积分 重积分

三、二重积分的性质

第一节

一、引例

二、二重积分的定义与可积性

四、曲顶柱体体积的计算 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二重积分的概念与性质

第九章 解法: 类似定积分解决问题的思想:

一、引例 1.

曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体:

0 ) , ( ≥ = y x f z 底: xoy 面上的闭区域 D 顶: 连续曲面 侧面:以D的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面 求其体积. 大化小, 常代变, 近似和, 求 极限 D ) , ( y x f z = 机动 目录 上页 下页 返回 结束 D ) , ( y x f z = 1) 大化小 用任意曲线网分D为n个区域 n σ σ σ Δ Δ Δ , , ,

2 1 以它们为底把曲顶柱体分为 n 个2) 常代变 在每个 k σ Δ , ) , ( k k η ξ 3) 近似和 ∑ = Δ = n k k V V

1 ∑ = Δ ≈ n k k k k f

1 ) , ( σ η ξ ) , ( k k f η ξ ) , ,

2 ,

1 ( ) , ( n k f V k k k k = Δ ≈ Δ σ η ξ 则 中任取一点 小曲顶柱体 k σ Δ ) , ( k k η ξ 机动 目录 上页 下页 返回 结束 4) 取极限 的直径为 定义 k σ Δ { } k k ,P P P P σ σ λ Δ ∈ = Δ

2 1

2 1 max ) ( 令{})(max

1 k n k σ λ λ Δ = ≤ ≤ ∑ = → Δ = n k k k k f V

1 0 ) , ( lim σ η ξ λ ) , ( y x f z = ) , ( k k f η ξ k σ Δ ) , ( k k η ξ 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 平面薄片的质量 有一个平面薄片, 在xoy 平面上占有区域 D , , ) , ( C y x ∈ μ 计算该薄片的质量 M . 度为 ), ( ) , ( 常数 若μμ≡yx设D 的面积为σ , 则σμ?=M若),(yxμ非常数 , 仍可用 其面密 大化小, 常代变,近似和, 求 极限 解决. 1) 大化小 用任意曲线网分D 为n个小区域 , , , ,

2 1 n σ σ σ Δ Δ Δ 相应把薄片也分为小区域 . D 机动 目录 上页 下页 返回 结束 y x 2) 常代变 中任取一点 k σ Δ 在每个 ), , ( k k η ξ 3) 近似和 ∑ = Δ = n k k M M

1 ∑ = Δ ≈ n k k k k

1 ) , ( σ η ξ μ 4) 取极限 { } ) ( max

1 k n k σ λ λ Δ = ≤ ≤ 令∑=→Δ=nkkkkM10),(lim σ η ξ μ λ k σ Δ ) , ( k k η ξ ) , ,

2 ,

1 ( ) , ( n k M k k k k = Δ ≈ Δ σ η ξ μ 则第 k 小块的质量 机动 目录 上页 下页 返回 结束 y x 两个问题的共性: (1) 解决问题的步骤相同 (2) 所求量的结构式相同 大化小, 常代变, 近似和,取极限 ∑ = → Δ = n k k k k f V

1 0 ) , ( lim σ η ξ λ ∑ = → Δ = n k k k k M

1 0 ) , ( lim σ η ξ μ λ 曲顶柱体体积: 平面薄片的质量: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、二重积分的定义及可积性 定义: ) , ( y x f 设 将区域 D 任意分成 n 个小区域 ), , ,

2 ,

1 ( n k k = Δσ 任取一点 , ) , ( k k k σ η ξ Δ ∈ 若存在一个常数 I , 使∑=→Δ=nkkkkfI10),(lim σ η ξ λ 可积 , ) , ( y x f 则称 ∫∫D y x f σ d ) , ( ) , ( y x f I 为称在D上的二重积分. 称为积分变量 y x, 积分和 ∫∫D y x f σ d ) , ( 积分域 被积函数 积分表达式 面积元素 记作 是定义在有界区域 D上的有界函数 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ∫∫ = D y x f V σ d ) , ( 引例1中曲顶柱体体积: ∫∫ = D y x M σ μ d ) , ( 引例2中平面薄板的质量: 如果 在D上可积, ) , ( y x f 也常 σ d , d d y x 二重积分记作 . d d ) , ( ∫∫D y x y x f , k k k y x Δ Δ = Δσ 这时 分区域D , 因此面积元素 可用平行坐标轴的直线来划 记作 ∫∫ = D y x y x f d d ) , ( ∫∫ = D y x y x d d ) , ( μ 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二重积分存在定理: 若函数 ) , ( y x f ) , ( y x f 定理2. ) , ( y x f 上可 在则Dyxf),((证明略) 定理1. 在D上可积. 限个点或有限个光滑曲线外都连续 , 积. 在有界闭区域 D上连续, 则 若有界函数 在有界闭区域 D 上除去有 例如, y x y x y x f ? ? =