PDF《细长结构几何非线性分析的子结构方法》

第 熬淼镀 衬 苍 〖扑懔ρаП 笨紫艹 文章编号 断赋そ峁辜负畏窍咝苑治龅淖咏峁狗椒 齐朝晖湾 】紫艹 》交矍 大连理工大学 工程力学系 工业装备结构分析国家重点实验室 大连 ┱∫ 将细长结构沿长度方向划分为多个子结构 并在每个子结构上建立一个随结构一起运动的连体基 则结 构内任意点的位移可分解为连体基的转动和相对于连体基的小位移＠孟赋そ峁拐庋谋湫翁卣 本文详细 讨论了连体基的转动 给出了与连体基选择方式相协调的节点位移及其虚变分表达式 并将子结构内部位移凝聚 到了边界节点上Ｔ诖嘶∩ 提出了一种细长结构几何非线性分析的子结构方法 可在不损失计算精度的前提 下大幅度降低求解规模 从而提高了计算效率Ｊ邓憷橹ち怂岱椒ǖ挠行 关键词 结构力学 几何非线性 子结构 大转动 中图分类号 ∥南妆曛韭 彩崭迦掌 修改稿收到日期 被鹣钅 国家自然科学基金 ┳手钅 作者简介 齐朝晖湾 教授 博士生导师 豢紫艹 博士生 方慧青 博士生 ∫ 言 经过半个多世纪的发展 有限元法的理论研究 和工程应用都取得了令人瞩目的成就Ｈ欢 有限 元法却并未因自身的日臻完善而失去其进一步发 展的动力Ｔ诼憔纫蟮那疤嵯氯绾谓岷辖 构的特点提高计算效率 一直不断地为有限元理论 提出新的研究课题 有限元法在构造各种线性单元方面积累了大 量的工作 ６阅切┏性睾笪灰坪捅湫味己苄〉 结构 线性有限元分析结果的可靠性已由多年的实 践所证实 ５こ讨杏幸淮罄嘟峁乖诔性睾笥 相对明显的变形 如起重机的臂架 高空作业车的 伸缩臂等 对这类结构进行有限元分析时 如果忽 略变形前后结构位置的改变 可能会使分析结果明 显与实际不符 Ｎ 非线性有限元理论逐步得 到了发展 目前已 形成了几种基本成熟的理 论体系 以不变的初始构形为参考构形的全量拉格朗日 方法和参考构形在求解过程中逐步调整的增量拉 格朗日方法 以及二者混用的混合法 Ｋ撬淙怀晒Φ亟饩隽诵矶嗍导饰侍 但也有 不尽人意之处 做非线性分析时 必须为每一种单 元重新构造复杂的非线性单元 Ｈ欢 现实中的 大部分结构不容许出现较大的应变 其非线性效应 主要体现在大转动上Ｕ獗居κ羌蚧ピ挠欣 条件 但传统方法在这方面能够做的其实是很受限 制的 ９残攴ㄕ窃谡庵直尘跋轮鸩绞艿皆嚼 越多学者的重视Ｆ浜诵乃枷胧 将单元的位移场 分解为随单元坐标系的刚体转动以及相对于单元 坐标系 的小位移 Ｕ 样就可以充分利用线性有限元理论所积累的大量成果 大大简化了这类几 何非线性单元的构造过程 Ｕ饫嗟ピ诰咛逵 用中也体现出明显的优势 ５硪环矫嫠氪 统方法是一样的 如果要做非线性分析 那么结构 中所有的单元都要按非线性单元处理 最终导致结 构平衡方程成为一组维数很高的非线性方程 ＝赋そ峁购侠砘治喔鲎咏峁 原则上可 使几何非线性效应主要体现在子结构之间的大转 动上 基于这种思想 本文提出了一种可用于细长 结构几何非线性分析的子结构法 可在满足精度要 求的前提下 大幅度缩减求解规模 ∽咏峁鼓诓孔杂啥饶 将细长结构沿长度方向划分多个子结构 每个 子结构中的节点可分为两类 ┯肫渌咏峁沽 接的边界节点集 ┠诓拷诘慵 对工程中的绝大多数细长结构 这样得到的子 结构其左右边界节点总数都多于三个 因而可以在 左端面上 选取一个节点 谟叶嗣嫔涎∪×礁鐾∽咏峁沟牧寤 槠 蠼诘 焙 为坐标原点 绷叻较蛭 轴方向 煌 垂直于连线 焙驳姆较 为 轴方向 ⒆ 结构的连体基 如图彼Ｎ蘼劢诘 和踩绾卧硕 连体基始终按 上述方式确定 细长结构的几何非线性效应主要是由大转动 引起的Ｍü侠淼鼗肿咏峁 可使这种非线性 效应主要体现在子结构连体基大转动上 而子结构 中各节点相对于连体基的位移可按小位移处理 采用线性有限元法对子结构进行离散 可将任 一子结构傻男橛Ρ淠 分解为 狡渲ㄆㄆ┦街 和 分别为边界节点和内部节点在连体 基中的节点参数 臀咏峁 刚度 阵的子矩阵 如果边界节点的总自由度大于刚体运 动自由度 则 是可逆的 Ｗ咏峁股贤饬λ鲂 功可以表示为 狡渲 ㄆㄆ┦街 和 分别为作用在边界节点和内部节点 处的外力 和 分别为单位质量体力 所 引起的边界节点和内部节点处的外力 整个结构的虚功方程可以表述为各子结构虚 应变能之和 等于各子结构上外力所做虚功之和 但每一子结构内部节点的相应虚应变能 和外 力虚功 都与其他子结构无关 因而 ㄆ ┯墒 ┛傻 ㄆ┙ ┐胧 ┎⒔岷鲜 ┛傻 ┦街 凝聚后的刚度阵为 ┨辶τ肽诓拷诘阍诒呓缃诘愦Φ牡刃饬ξ 湾 ┙咏峁沟谋呓缃诘阃骋槐嗪 整体结构的虚 功方程可以缩减为 ┦街 为所有边界节点处外力所做虚功 指标 的求 和范围为结构中所有个子结构Ｐ 式 上 式 ┯虢扛鲎咏峁箍醋鲆桓龅ピ钡慕峁 虚功方程一致 由于连体基中的节点参数 局部参数 与总体 基中的节点参数 总体参数 不一致 为将虚功方程 转化为代数方程组 需要给出总体参数与局部参数 之间的函数关系 ∽芴逦灰朴刖植课灰 不失一般性 假设确定子结构连体基的掣鼋 点编号分别为 子结构中边界编号为 的节 点变形前在连体基和总体基中的矢径分别为 和 蛴 捌┦街 为初始时刻连体基相对于总体基的转换 矩阵１湫魏 节点 在连体基和总体基中的位移 分别为 和 玫阍谧芴寤械氖妇段 狡捌捌ㄆ┦街 为变形后子结构连体基相对于总体基的 转换矩阵 该矩阵第一个列向量 ┑谌隽邢蛄 ┑诙隽邢蛄 ┦街 采用了两个约定 ┙我馊邢蛄 上方加波浪号 代表该矢量生成的反对称矩阵为 凹裼鹪┦街 ┪ 的三个分量 ┒匀我庵 标得 ┯墒 ┛芍 昂翱梢员硎疚 逼 ┯墒 ┛傻 连体基中的位移为 ┧鞘歉鹘诘阕芴逦灰 的函数 由连体基的定义方式可知 的第二和第三个分量以及 的第三个分量皆为Ａ 芳扑懔ρаП〉 熬 基中的相应位 移必须满足协调条件 泵挥醒 埠撤较虻姆至 没有沿 方向的分量０词 灰菩魈跫 └菔 ┛芍 按式 计算的位移满 足这些协调条件 对式 ┤⌒楸浞挚傻 捌 捌 捌 ┦街胁捎昧嗽级 ┯捎 的任意两个列向量 与 之间满足 正交关系 愿玫仁饺”浞挚傻 云 └梅匠 的通解可用列向量表示为浯胧 ┛傻 布裼鹪臣裼鹪凹裼鹪┐又锌梢郧蟮 捌┢渲 ┳⒁獾 是组成 的列向量 因而 的虚 变分 ┐佣 ┑男楸浞治 捌 ┧诹寤械牡 个分量 捌┪灰菩魈跫 并且 澈 皆为５邮 ┛芍 ┯捎 昂 佣 ┯墒 参憔卣 浯胧 ┲锌傻 ┙ 式 代入式 可得 蚨 因此 按式 ┘扑愕男槲灰坡阏庑┮ ∽芴遄问刖植孔问 很多细长结构是由梁组成的桁架结构 此时节 点参数中包含转角 用以描述通过该节点横截面的 刚性转动 假设变形前后横截面相对于连体基的方位矩 阵分别为 昂虮湫魏蠛峤孛嫦喽杂谧 体基的方位可由转动矩阵 ┟枋Ｓ捎谧咏峁沽寤淖 可解释为子 结构的整体转动 在小应变条件下 如果将整体结 构分解为足够多个子结构 则 对应小转动 因 而可将其近似表达为 制┦街 为相应的转动矢量诘阕木植坎问 １湫魏蠛峤孛娴姆轿灰部擅枋鑫 ┳卣 不再对应小转动 可按有限转动描述 为 狡 萜┦街 为相应转动矢量 节点转动的整体参数 哪 对比式 ┛傻 ┯墒 ┛傻 ┢浞炊猿撇糠治 ┮虼 ┧亲芴遄问 和总体位移 的函数 对式 ┤”浞植⒃诘仁搅蕉擞页 可得 云┳卣蟮男楸浞钟辛礁鲋匾灾 ┯米噶 描述的转动矩阵 与其虚 变分之间存在关系 ┒匀我馐噶 〉 期 齐朝晖 等合赋そ峁辜负畏窍咝苑治龅淖咏峁狗椒 式中 狡 ┢ ├谜饬礁鲂灾 可由式 ┣蟮 〗诘闫胶夥匠 将节点自由度按平动和转动划分 结构整体虚 功方程可以改写为如下形式 云 云┦街 和 为总体基中作用在节点 上的外力 和外力矩 和 为连体基中节点 的等效节点 力和力矩 可分别表示为 栖 栖┦街 子矩阵 涂筛菽酆蟮 子结构刚度阵 得到 和 可由 湾 得到８ 式 ┛傻 ┦街 ┓直鹞芴寤械牡刃Ы诘懔土 它们相对于 连体基原点的合力及合力矩分别为 捌 ┳咏峁 对整体虚功方程 ┳蠖说墓毕孜 捌 ┎皇б话阈 假设结构的约束方程为 ┧缮谋浞衷际匠炭梢员硎疚 破 ┮蚨 节点广义约束反力和反力矩可写为 ┳酆弦陨细魇 节点 的力矩平衡方程可写为 ㄆ ┤绻瞧胀诘 其力平衡方程为 ㄆ ┣蠛头段诘 所连接的子结构 如果节点属于确定某个子结构连体基的掣 节点 记为 蛳嘤Φ 平衡方程可以分别表示为 捌逼ㄆ捌 逼 财 ┙胶夥匠 与约束方程 相结合 就可给出求解节点整体参数所需的方程Ｕ馐且 组高度非线性的方程 给出相应的切线刚度矩阵可 大幅度提高计算效率 ∏邢吒斩染卣 为获得节点平衡方程的切线刚度阵 需要给出 方程 ┳蠖说奈⒎ 其中等效节点力及其力 矩的微分为 淦 淦 ┙诘憔植坎问胱芴宀问奈⒎种涔叵悼捎墒 ┑玫 即 淦 ┦街 ┯墒 ┛芍 捌 淦 捌 ┦街 埠 的微分为 栖 ├檬 ┛傻 淦 淦 ┙ ┐胧 左端的微分式 中 可得所需的切线刚度矩阵 芳扑懔ρаП〉 熬 ∷± 如图菜 由弹性模量为 此杀任 密度为 旗车目招脑补芎附 而成的空间桁架结构 总长为 弦杆的内外直 径分别为 和 腹杆的内外直径分 别为 和 桁架左端面固结 右端 面下端两个边界节点分别受集中力 肫熳饔 首先 沿长度方向将桁架划分为 个如图 所示的等长子结构 为提高收敛速度 将载荷分挡街鸾ナ┘佑诮 构上 将上一步收 敛的结果作为下一步迭代的初值Ｍ次幢疚乃龇椒ǖ玫慕峁顾嬖睾杀湫 过程 其中所有位移都放大了当 表蔽幢疚姆椒ㄓ氩捎 蛹负畏窍 性模块所得的载荷作用点的位移 由表笨芍 本文与 铀媒峁涞 误差不超过千分之三５ 有枨蠼 锤 非线性方程 而按本文方法仅需求解 锤龇窍咝 方程 图】占滂旒 槠 笸】占滂旒艿淖咏峁 槠 笸〖釉毓讨需旒芙峁沟谋湫 槠 槠 钇 钇蟊≡睾勺饔玫愕奈灰 单位 钇 氨疚姆椒 所得结果 秤 铀媒峁 废喽晕蟛 〗÷ 结合细长结构大转动小应变的特点 本文提出 了一种可用于细长结构几何非线性分析的子结构 方法 可在满足精度要求的同时大幅度降低求解规 模 并且无需针对 每种单元构造相应的非线 性单元 与传统方法相比 在程式化和计算效率方面具 有一定的优势 参考文献 ⊥踣贸 有限单元法 本 清华大学出版社 钦钇 钇钇≌⌒ 陆念力 罗” 计及二阶效应的大位移柔性 梁杆系统动力学分析 泄こ袒笛П 险 钇 蚱 钇 斓 连续体和结构的非 线性有限元 庄∽ 译 北京 清华大学出版社 斓 钇钇 〕抡 曾庆元 颜全胜 空间杆系结构大挠度问题内 力分析 的侦盗惺椒聊竟こ萄П 钇钇钇 钇侦 蚱〉 期 齐朝晖 等合赋そ峁辜负畏窍咝苑治龅淖咏峁狗椒 蚱 跗 〕孪蜓 关富玲 折叠结构几何非线性分析 扑 力学学报 握钇钇 钇 《 张志宏 李元齐 空间网格结构几何非线性有 限元分析方法的研究扑懔ρаП 钇 钇 ×± 许克宾 杆系结构非线性分析中 造盗惺胶 斓列式 こ塘ρ 增 刊 侦造 侦 ≌拍晡 童根树 平面框架几何非线性分析的修正拉 格朗日 协同转动联合法 こ塘ρ 崞钇蚱 蚱 蚱 钇 橥钦 钇 钇钇 锲 钇钇 钇崞 迤 蚱 嫫 钇 钇 黄 蚱 芳扑懔ρаП〉 熬 .

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