PDF《高级微观经济学 I 第四次作业》

高级微观经济学 I 第四次作业 交作业的截止时间为第十五次课下课前 (1) 对消费者而言具有价值的产品组合 X = (x1, x2,…xj,…xk,…,xn) 中, xi ≥

0 是第i种产品在产品组合中的数量.

假设根据该消费者的偏好,除非产品组合之 间存在"优超"关系,该消费者无法分辨产品 j 和产品 k 的组合在数量上的细 微差别.我们定义"优超"概念如下:当xj ≥ yj, xk ≥ yk,且两个不等式中至少有 一个为严格不等式时,X优超Y.对该消费者偏好的具体描述如下: 令X=(z1, z2,…xj,…xk,…,zn),Y = (z1, z2,…yj,…yk,…,zn);

xj≠yj, xk≠yk,除此之外X 与Y完全相等. (i) 如果X优超Y,那么Xf Y. (ii) 然而,如果X不优超Y且Y不优超X,当X与Y足够接近时,X无异于Y.具体 而言,δj >

0 与δk >

0 分别为正常数.如果在X不优超Y且Y不优超X的情况下我 们有 | xj C yj | < δj,且|xk C yk | < δk,那么X ~ Y.(注意:上述特性为单向应用. 即可能存在 | xj C yj | > δj,且|xk C yk | > δk,且X ~ Y.) 证明具备特性 (i) 和(ii) 的偏好不能用效用函数表达.(提示:从证明"~" 关系的不可传递性入手.) (2) 拥有初始财富 w 元人民币的驾驶员决定是否合法停车.如果她决定合法停 车,她将保留她的初始财富 w.如果她决定非法停车,有两件事情会发生.首先,她将节省时间,所节省的时间对她的价值为 s 元人民币.无论她是否因非 法停车而得到罚单,她都会在初始财富 w 的基础上加上这 s 元.其次,她有可 能收到罚单,得到罚单的机率为 p.如果她收到了罚单,她必须缴纳 f 元罚金. 她的VNM效用函数是货币的严格增函数,且处处连续、二阶可导,严格凹.该 驾驶员的目标是最大化其预期效用. (a) 司机的停车问题实际上是一个在风险下决策的问题.合法停车是一个"安全 博彩":司机将肯定得到 w.写出与非法停车相对应的"风险博彩".画出分 别与"安全博彩"和"风险博彩"相对应的概率树. (b) 如果司机最终决定合法停车,那么 s 和f之间必须满足什么关系? (c) 我们定义 S(p, f ) 如下:给定机率 p 和罚金 f,当司机非法停车所节省的时 间对司机的价值为S(p, f )时,非法停车与合法停车对司机而言没有分别.写出定 义函数S(p, f)的数学恒等式.用文字解释为什么这一恒等式背后隐含下面的决策 规则:

1 2 如果 S(p, f ) > s,合法停车. 如果 S(p, f ) < s,非法停车. 如果 S(p, f ) = s,合法停车与非法停车对司机而言等价. (d) 对(c)中的恒等式进行规范的静态比较分析. p 和f的变动会对 S(p, f ) 造成 怎样的影响?判定各表达式的符号,这些符号与司机的决策有什么关联? (e) 证明 S 对f的弹性大于 S 对p的弹性. (提示:你已经得到了 ?S/?p 和?S/?f 的表达式.运用二阶泰勒展开式和VNM效用函数严格凹的事实.) (3) 回忆第二次作业 1)中的(b)问: 每天,王二麻子要在货币消费 M 和休闲时间 L 之间作出选择.王二麻子每天的 非劳动收益是 A 元,A 不由王二麻子所控制.每天有

24 小时.王二麻子工作的 前8小时,每小时的工资为 w 元.如果王二麻子每天工作超过

8 小时,超出

8 小时的时段每小时工资为 1.5w 元.每天工作超过

12 小时是非法的.w 不由王二 麻子所控制. (a) 满足这些约束条件的点 (L, M) 的集合是不是凸集?运用图形和数学解析方 法回答问题. (b) 现在我们对王二麻子的约束条件进行简化.(i)假设无论王二麻子是否加班, 王二麻子每小时的工资都是 w 元.(ii)假设政府对每天的工作时数并没有限制. 写出王二麻子的新的约束条件,并绘出图形.满足这些新的约束条件的点(L, M) 的集合是不是凸集?运用图形和数学解析方法回答问题. (c) 假设王二麻子的效用函数为 U(L, M), U 是L和M的严格增函数, 同时 U 是 处处连续,一阶连续可导、二阶连续可导的拟凹函数.在简化后的约束条件下, 运用库恩-塔克条件表达出此效用函数所有可能的极大值. 运用图形解释各个极 大值的含义.