PDF《陶志雄二邻近纽结的投影图》

浙江科技学院学报 , 第22 卷第

3 期,2010 年6月Journal of Zhejiang University of Science and Technology Vol .

22 No .

3 ,June

2010 DOI :10 . 3969/j . issn . 16718798 .

2010 .

03 .

001 收稿日期 :20091211 作者简介 :陶志雄(1961 ― ) , 男,浙江绍兴人 , 副教授 , 博士 , 主要从事拓扑学研究及大学数学教学 . 二邻近纽结的投 影图 陶志雄 (浙江科技学院 理学院 , 杭州 310023) 摘要:通过穷举纽结的投影图连接方式及对二邻近纽结的 Conway 多项式的分析 , 揭示了 Conway 多项式系数 a2 (K)=

1 ,-

1 ,

0 时二邻近纽结的一些特性 . 关键词 :纽结 ;

纽结投影图 ;

Conway 多项式 中图分类号 :O189 .

24 文献标识码 :A 文章编号 :16718798(2010)031613 Diagrams of adjacent knots TAO Zhixiong (School of Science ,Zhejiang University of Science and Technology ,Hangzhou

310023 ,China) Abstract :By listing all possible cases of knot diagram patterns and studying the Conway polynomials of 2adjacent knots ,we show some properties of a 2adjacent knot when the second coefficient of the Conway polynomials of the knot equals

1 , -

1 or

0 respectively . Key words :knot ;

diagram of a knot ;

Conway polynomial

1 问题和结果 研究二邻近纽结以来 , 一直没有学者说明实二邻近纽结的 Conway 多项式的第二个系数 a2 (K) 的具 体值究竟说明了该二邻近纽结的什么性质 .从早期的二邻近研究可以知道 , 只知道二邻近纽结必然满足 | a2 (K) | ≤ 1[12] . 本文通过列举二邻近纽结投影图的可能连接方式 , 以及对二邻近纽结 Conway 多项式 的研究 , 得到以下结论 : 定理 : 假如 K 是一个二邻近纽结 , 那么 1) 如果 a2 (K) = ±

1 , 则实现二邻近的

2 个交叉的符号乘积与 a2 (K) 同号(即a2 (K) = 1(或-1)分 别表示这两个交叉同号(或异号)) , 且全部打开(open , smooth) 这两个交叉得到的是纽结 ;

2) 如果 a2 (K) =

0 , 则全部打开实现二邻近的

2 个交叉得到的是

3 个分支的链环 .

2 概念定义

1 [3] 对每个链环(纽结) 有一相配的整系数多项式 楚(K) ∈ [z] , 满足 : 1) 楚( ) =

1 , 是平凡纽结 . 2) 若3个链环(纽结) 的投影不同处仅在如下所示的局部 : 则有 :楚(L+ ) - 楚(L- ) = z 楚(L0 ) . 其中 L+ (L- )成为 L0 的过程称为打开 L+ (L- ) , 而从 L+ 到L- 或反之的过程称为改变交叉 , L+ (L- ) 对应的交叉符号分别为正(负) .楚(K) 就称为 K 的Conway 多项式 , 可证它是一个链环(纽结) 不变量 , 并 且有如下性质 [4] : 楚(K) = z k-1 (ak-1 + a1+ k z

2 + a3+ k z

4 + … + a2 n+ k-1 z

2 n ) 式中 k 是链环(纽结) 的分支数 . 定义

2 [12] 若纽结 K 存在

2 个交叉 , 改变任何一个交叉以及同时改变这两个交叉都得平凡纽结 , 则称K是一个二邻近纽结 .

3 定理的证明 为了方便 , 用图 1(1) 来表示图 1(2) 或图 1(3) , 简称盒 A . 假如 K 是一个二邻近纽结 , 实现二邻近的2个交叉 p , q分别在上述2个这样的盒里 , 两盒分别记为 A , B(它们未必相同) , 记号如图

2 所示 , 小写的字母分别表示盒的

4 个角 . 图1盒AFig .

1 Box A 图2盒A与盒 B Fig .

2 Box A and Box B 由于连接之后必须是一个纽结 , 所以这两个图的连接方式有如下几种 : c → a → d → b → h → f → g → e → c (1) g → e → h → f → c (2) h → f → d → b → g → e → c (3) g → e → d → b → c (4) g → e → d → b → h → f → c (5) h → f → d → b → c (6) 其中 c → a → d , 表示该纽结从盒 A 的角 c 出发 , 弧段经过 A 到了 a , 再经过某一个弧段到了 d . 这样上面的表示说明了有

6 种可能 , 而其中(1) 、(2) 、(4) 、(6) 是同一情形 , (3) 与(5) 是另一情形 , 即 经过同痕之后 ,

6 种情形本质上只有

2 种.以情形(3) 和(5) 为例 , 它们的投影分别如下 :

2 6

1 浙江科技学院学报 第22 卷 情形(3) 情形(5) 将情形(5) 的盒 B 作flype [3] , 可以得到情形(3) , 所以(3) 与(5) 是相同的 . 情形(1) 的投影如下 : 情形(1) 分别打开 A 和B的交叉各一个 , 由情形(1) 得到 : c → b → h → e → c ,d → a → d ,g → f → g 是3个分支的链环 . 由情形(3) 得到 : c → b → g → f → d → a → h → e → c 是一个纽结 . 考虑 Conway 多项式 , 用sx 表示改变交叉 x , ox 表打开交叉 x . 由于 K 二邻近于平凡纽结 , 故存在 K 的 一个链环图 D(p , q) , p , q 如前所述 , 使得分别改变和同时改变这些交叉都得平凡纽结 . 根据定义

1 , 有:楚(D(p , q)) - 楚(D(sp , q)) = sign(p)z 楚(D(op , q)) 楚(D(op , q)) - 楚(D(op , sq)) = sign(q)z 楚(D(op , oq)) 楚(D(p , sq)) - 楚(D(sp , sq)) = sign(p)z 楚(D(op , sq)) 其中 sign(x) 表示交叉 x 的符号 , D(・ ,・) 表示 D(p , q) 投影图中 p , q 处已改变为(・ ,・) . 由于 D(sp , q) , D(p , sq) , D(sp , sq) 均为平凡纽结 , 从上面这些等式解得 : 楚(K) = 楚(D(p , q)) = sign(p)sign(q)z

2 楚(D(op , oq)) +

1 根据前面的讨论 , 情形(3)时D(op , oq)是纽结 , 故a2 (K) = sign(p)sign(q) = ±

1 , 这就是说实现二邻 近的

2 个交叉符号相同时 a2 (K) =

1 , 异号时 a2 (K) = -

1 . 情形(1)时,D(op , oq)是链环 , 故a0 (D(op , oq)) =

0 , 得a2 (K) =

0 ;

换言之 , a2 (K) =

0 时,二邻近纽 结必是如情形(1) 的投影图 , 即打开相应的

2 个交叉得

3 个分支的链环 . 参考文献 : [1] 陶志雄 . 二邻近纽结的 Conway 多项式[J] . 浙江大学学报 : 理学版 ,

2005 , 32(1) : 1720 . [2] ASKITAS N ,STOIMENOW A .On unknotting numbers and knot trivadjacency[J] .Mathematica Scandinavica ,

2004 , 94(2) : 227248 . [3] KAUFFMAN L H .On Knots[M ] .Beijing :World Publishing Corporation (Princeton University Press) ,

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2004 .

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1 第3期陶志雄 : 二邻近纽结的投影图