PDF《量子信息概论》

1 量子信息概论 郭光灿

2 X 量子比特 ?比特(bit)是经典计算和经典信息的基本 概念,经典信息的基本单元.

?比特:0或1, 或,01?量子比特: 称和为计算基态. ,

1 0 β α ψ + =

1 2

2 = + β α

0 1 ?等效表示: 式中θ,?为实数,θ和?定义单位三维球面 上的一个点.Bloch球.

1 2 sin

0 2 cos θ θ ψ ? i e + =

3 ?量子比特的物理载体:任意二态的量子体 系,如光子、原子、电子、原子核等. ?一个量子比特表示多少信息? X如若不进行测量,一个量子比特代表多少 信息? 若对 进行一次测量,只能给出0或1,量子 比特的测量后的态为 或 .因此,从一次 测量,人们只能获得关于量子比特态的一个 ψ

0 1 比特的信息.

4 ――这是个微妙的问题.如果不进行测量,人们 如何度量信息呢?尽管如此,这里仍有重要概念 性问题存在.因为当Nature 演化量子比特的封闭 量子系统,不做任何 测量 ,她显然会保持住用 于描述该态的全部连续变量(如α和β)的踪迹. 在某种意义上讲,Nature 在一个量子比特的态 中,隐藏有大量的 hidden information (隐信 息),更有趣的是,这种额外 信息 的数量随着 量子比特的数目指数增加.如何理解这类隐信息 正是我们要致力研究的问题,也是量子力学之所 以成为信息处理强有力工具的核心.

5 多量子比特 ?两个量子比特 两个经典比特,有4种可能状态:00, 01, 10, 11. 两个量子比特有4个计算基态: .

11 ,

10 ,

01 ,

00 X两个量子比特可表示为

11 10

01 00

11 10

01 00 α α α α ψ + + + = 归一化条件 ,

1 2 }

1 ,

0 {

2 ∑ ∈ = x x α

11 ,

10 ,

01 ,

00 = x

2 }

1 ,

0 { 代表长为2的字符串集合,每个字符取0或1.

6 若测量子集(第一个量子比特),测得0的 几率为 ,测量后的量子态为(归一

2 01

2 00 α α + 化)

2 01

2 00

01 00

01 00 '

α α α α ψ + + = X两量子比特的重要量子态是 Bell态或EPR对,如(),

11 00

2 1 + 两量子比特之间存在量子关 联.

7 X n个量子比特系统 有2n个振幅系数,例如,n=500,2n 比宇宙中的原子数目还多. , , , ,

2 1 n x x x , '

'

}

1 ,

0 { ∑ ∈ = n x x x α ψ 计算基态 若能制备n个量子比特存储器,则它 具有巨大的存储数据能力.

8 量子计算 量子计算机由包含有导线和基本量子门的量子线 路(quantum circuit)构成,导线用于传递量子信 息,量子门用于操作量子信息. (1)单个量子比特门 量子门对量子态作用是 线性的,如量子非门

0 1

1 0 NOT β α β α + ? ? → ? + 为什么门作用不会是非线 性? 这归结于量子力学的线性 特性.非线性量子力学会 导致超光速通信、违背热 力学第二定律等.

9 量子非门的矩阵表示 (以,为基)

0 1 ? ? ? ? ? ? =

0 1

1 0 X 例??????=??????αββαX1010βα β β α + ?→ ? + X 即 作用于单个量子比特 的量子门都可用 矩阵描述.

2 2* 用做量子门的矩阵有何 限制? 描述单个量子门的矩阵 U是么正的,即U+U=I. 这个么正性限制是对量 子门的唯一限制.?任意么正矩阵均可标志 有效量子门!?

10 不变, . ? Z 门???????≡1001Z将其作用:0 变为

1 1 ? ? Hardmard 门 其作用: ? ? ? ? ? ? ? ≡

1 1

1 1

2 1 H I H H H = ? = + =

2 )

1 0 (

2 1

1 )

1 0 (

2 1

0 ? 某些重要单量子比特门

2 1

2 1

0 1

0 1

0 1

0 1

0 1

0 ? + + + ? + + +

0 β α β α β α β α α β β α H x z 存在无数多个

2 2* 因而有无数多个单量子比特门. 么正矩阵, 业已证明,任意么正矩阵可做如下分解 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ?

2 /

2 /

2 2

2 2

2 /

2 /

0 0 cos sin sin cos

0 0 δ δ β β α i i r r r r i i i e e e e e U 式中为实数,注意:第二个矩阵为普 通旋转矩阵,第

一、三矩阵为绕围Z轴 的旋转.这个分解式给出任意单量子 比特量子逻辑门的精确表述.

11 (2)多量子比特门 典型多量子比特门是受控非门(Controlled -NOT or CNOT) A B B A A + I U U U CN CN CN = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = + ,

0 1

0 0

1 0

0 0

0 0

1 0

0 0

0 1 其中 为控制量子比特(control qubit), A 为目标量 B 子比特(target qubit). 作用:当控制比特为

0 时,目标比特不改变;

当控 制比特为 时,目标比特倒置,即101,10→→.业已证明:任意多量子比特门均可以由CNOT和单量 子比特门构成.

12 (3)基于非计算基的测量 计算基并非是唯一的测量基,例如,可以选择另组正交基: )

1 0 (

2 1 ),

1 0 (

2 1 ? ≡ ? + ≡ + 可将任意态写成: ? ? + + + = + =

2 2

1 0 β α β α β α ψ 量子比特

1 0 β α ψ + = 采用基矢

1 ,

0 进行测量,结果为

0 的几率分别 和1为和.2α2β测量之后,将坍缩到 或 ,几率为 . + ?

2 2

2 1 ,

2 1 β α β α ? + 和 更一般,给出任意基态 a ,可以将任意态表示 b b a β α + 只要 为ab为正交,就可以进行相对于 , 的测量,以ab和2α几率给出α,以2β几率给出β, .

1 2

2 = + β α ,

13 量子线路 以包含有三个量子门的量子线路为例 ? * * ? ? 线路中的每条线不一定对应物理上的导线,它可能是时间 流向,或许是从某处传送到另处的物理粒子,如光子. 该线路功能: a b b b a b b a b b a b a a b a a b a , ) ( , , ), ( , , = → = → → ? ? ? ? ? ? ? 实际效果是交换了两个量子比特.

14 可控-U门 假定U是作用在某n个量子比特上的任意么正矩阵,U可以看 作是作用在这些量子比特上的量子门,定义可控―U门,它有 单个控制量子比特,n个目标量子比特.如果控制量子比特为 0,则目标量子比特不发生任何变化,若控制量子比特为1, U 则门U作用在目标量子比特上. 另类重要操作是测量.用指针表 示,这种操作将单个量子比特态 显然,CNOT门是其特例,(非门)

1 0 β α ψ + = 变换成概率经典 比特M,以2α概率得0,以ψM概率得1,用双线表示

2 β .

15 量子比特复制线路? 经典比特可用CNOT门精确地复制,量子比特可否 精确复制? x x y x y ? x

0 x x +

1 0 b a =

0 11

00 b a + ψ + 经典复制线路 量子复制线路 量子CNOT门作用于 得到 ψ

11 00 b a + 这显然不是

11 10

01 00

2 2 b ab ab a + + + = ψ ψ 量子不可克隆定理:不存在任何物理过程可以精确 复制任何未知的量子态.

16 Bell 态(EPR对) + xy H x y β In Out

11 10

01 00

11 10

01 00

2 / )

10 01 (

2 / )

11 00 (

2 / )

10 01 (

2 / )

11 00 ( β β β β ≡ ? ≡ ? ≡ + ≡ +

17 量子隐形传态(Quantum Teleportation) 将未知量子态(量子比特)传送到远处而不传送 量子态的物理载体. Alice对处于未知量子态 粒子和她的纠缠粒子 Alice和Bob各自拥有EPR对的一个纠缠粒子. ψ 进行量子测量,获得4个可能经典结果00,01,10, 11中的一个. Alice将测量的结果传送给Bob Bob依据Alice的信息对他手中的EPR粒子做相应 操作,便可恢复出原始的量子态.

18 + ψ H ψ

00 β

2 M X

1 M X

1 Μ Μ2

0 ψ

1 ψ

2 ψ

3 ψ

4 ψ 隐形传送一 个量子比特 的量子线路 待送未知量子比特:

1 0 β α ψ + = 构成量子通道的EPR态: )

11 00 (

2 1

00 + = β 输入 )]

11 00 (

1 )

11 00 (

0 [

2 1

00 0 + + + = ? = β α β ψ ψ Alice对前两个粒子做CNOT门操作得到 )]

01 10 (

1 )

11 00 (

0 [

2 1

1 + + + = β α ψ

19 Alice 将第一个粒子通过Hadamard门,得到 )]

0 1 (

11 )

1 0 (

10 )

0 1 (

01 )

1 0 (

00 [

2 1 )]

01 10 )(

1 0 ( )

11 00 )(

1 0 ( [

2 1

2 β α β α β α β α β α ψ ? + ? + + + + = + ? + + + = Alice 对前两个粒子进行正交测量,得到00, 01, 10,

11 中的任一个,Bob的粒子将坍缩到相应的测量后(post- measurement)态: ]

0 )

1 ( [ )

11 (

11 ]

1 )

0 ( [ )

10 (

10 ]

0 )

1 ( [ )

01 (

01 ]

1 )

0 ( [ )

00 (

00 3

3 3

3 β α ψ β α ψ β α ψ β α ψ ? ≡ ? ≡ + ≡ + ≡

20 Bob依照Alice传送来的测量结果,将其粒子通过适 当量子门便可恢复出原始原子态 : ψ 若测量结果为00,Bob无需做任何操作 若测量结果为01,Bob施加X门 若测量结果为10,Bob施加Z门 若测量结果为11,Bob施加Z X (先施加X门,再作用Z门) 故Bob需要施加的变换为

2 1 M M X Z

21 量子隐形传态有许多 有趣的特性,例如 (1) 隐形传送是否允许 超光速地传送量子态? 不可能,因为只有Alice 通过经典信道将测量结 果传送给Bob,才有可 能实现这种隐形传态. 没有这个经典通信, teleportation无法传送任 何信息. (2) 隐形传态似乎产生了一 份待传送量子态的复制,违 背了量子不可克隆定理.事 实上,原始粒子的态在Alice 测量时被破坏,它最终处于 或,因此这里量子隐形传态 强调了量子力学的不同信源 的相互交换能力,它证明, 一对共享EPR对连同两个经 典通信比特起码等同于一个 通信量子比特的信源.

22 量子算法 是否能找到这样问题,量子计算可以完成得比经典计算机更好? (1)有效量子算法 Shor(1994):量子计算机原则上可以有效地进行大数因子分解. 因子分解是典型的难解问题(intractable),其特性: ―― 一旦找到解,很容易验证.(n=pq) ―― 但........