PDF《量子临界性》

∥锢怼4 0卷(2011年) 2期h t t p : oowww.

w u l i . a c . c n P h y s i c sT o d a y 攫英 量子临界性

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1 1年2月出版的P h y s i c sT o d a y 杂志上, 美国哈佛大学物理学教授S u b i rS a c h d e v和德国马克斯・普朗克固 体物理研究所 B e r n h a r dK e i m e r所长撰文, 就 量子临界性 做了详尽的阐述并指出, 在绝对零温度下, 由量子涨落 导致的相变似乎是一个没有实验意义的、 抽象的理论概念, 但它却是我们理解众多实验现象的关键. 〉贝锢硌а芯恐邢嗟贝蟮囊徊糠帜谌菔嵌粤孔游镏 的研究, 其目的是描述在足够低的温度下, 由大量相互作用 的粒子组成的系统和依据量子力学原理所形成的各种物态. 对于固体中的电子, 所需要的 低温 甚至比室温还要高;

而 束缚原子气体却需要在绝对温度为1 0-9 的 超冷温度 范围 内. 借助于原子核的碰撞, 在粒子加速器中实现的夸克等离 子体, 已经接近宇宙大爆炸刚刚结束时的温度. 有意思的是, 对特征能量尺度差别如此之大的不同物理系统, 一些有关量 子物态的概念和原理依然适用. 固体中的电子系统是研究量子物质最合适的系统之一, 借助于现代的材料制备技术, 人们几乎可以合成出无穷多种 用于实验探索和理论研究的各类晶体. 本文着重讨论电子系 统在绝对零温度下的一些相变, 这时系统中不存在热涨落, 相 变是由依据海森伯不确定原理而存在的量子涨落所导致的. 读者熟悉的电子系统所形成的量子物态有: 电子占据部 分巡游平面波函数的金属态;

电子形成 C o o p e r对后无损耗 地传导电荷的超导态;

在室温下很难发生的、 通过激发电子 克服能隙传输 电荷的绝缘体;

以及在室温下可以激发电子的、 具有较小能隙的半导体. 这样的分类依据的是电子所携 带电荷的运动状态, 然而, 电子还具有自旋. 对电子波函数中 自旋构型的详细分析, 可以进一步细分电子的量子物态, 其 中就包括铁磁体、 反铁磁体. 而磁性物态中电荷自由度是处 于金属态、 超导态、 绝缘等状态. 近期许多实验研究工作是围绕所谓的关联金属材料展 开的. 在这样的系 统中, 外层电子大多在原子的d轨 道或f 轨道. 较小的轨 道空间延展性增强了电子间的库仑相互作用, 所以电子之间必须关联起来, 以保证它们之间尽可能低 的作用能. 尽管多数关联电子材料在常态下处于上述某个量 子物态, 但是我们可以通过调节外参量, 使得它们在两个或 多个物态间转变. 这里的外参量可以是加在固体上的压力、 磁场强度, 或者是通过掺杂手段控制的电子浓度. 此时, 温度 不再是一个主要的外参量, 因为我们讨论的是电子基态的变 化, 其次才是基态之上的热激发. 在本文中, 我们把可调的外 参量记为g. 当g 发生改变时, 特别是在量子相变点g=g c 处, 由于哈密顿量中的一个或几个耦合参数的缓慢变化, 系 统整体的基态波函数产生了一个定性的改变. 有时两相之间的相变表现为某些物理量突然的跳跃, 这 种一阶的量子相变类似于热力学中的一阶相变, 如水煮沸变 成蒸汽. 然而, 较为有趣和常见的相变则是变化过程平缓的 二阶连续相变. 二阶量子相变的重要特征体现在临界点处基 态的特性: 在远离量子临界点时, 系统通常处于以上提到的 某个物态, 如反铁磁性的金属态, 其量子波函数可以写成简 单电子构型的一个直积态. 然而, 对于一阶量子相变, 相变点 两边的基态波函数可以一直延续到g=g c , 相变时系统只是 从一边的量子态变到另一边的量子态. 然而, 对于连续量子 相变, 波函数在临界点g=g c 处完全不是一个直积态, 它是 一个由巨大指 数多种构型组成的、 包含各种长度尺度涨落的、 复杂的量子叠加态. 用时尚的语言来说, 就是处于临界点 的波函数具 有长程量子纠缠的属性. A l b e r tE i n s t e i n , B o r i s P o d o l s k y和NathanR o s e n 在1

9 3 5年著名 的单个电子对的思想实验中, 特别强调量子纠缠具有特殊的、 非局域的本性, 而类似的纠缠属性同样出现在由大量电子组成的关联系统 之中. 量子临界物态是迄今为止人们研究过的最复杂的量子 态, 如何有效地描述它们, 已成为量子临界性理论研究的一 个重要目标. 对几乎所有情形, 人们甚至不能写下临界物态 的波函数, 所以不得不借助于量子场论或数值模拟的工具来 剥离出电子之间那微妙的量子关联信息. 在g=g c 处, 量子 临界物态是由系统基态波函数所确定的, 所以严格来说, 它 只存在于绝对零温度条件下. 从实验角度来说, 一个连续的 量子相变和它的具有奇异性的、 量子纠缠的临界点性质, 似 乎只是一个没有实际意义的、 抽象的理论概念. 然而, 我们将 在下面看到, 量子临界点的影响实际上扩展到了有限温度相 图中的一个宽广的区域, 量子临界区域将是我们解释许多实 验现象的关键. 1×孔I s i n g自旋链 近期实验中的两个非常典型的例子, 可以很好地用来说 明量子相变和量子临界性. 这两个例子都涉及绝缘材料, 这 时电子的电荷自由度完全局域, 所以我们可以集中精力关注 电子自旋在不同晶格位置上的空 间取向. 在CoNb2O6 材料中, C o 2+ 离子上的总的电子自旋可以有一定的空间取向. 由 于自旋-轨道耦合效应, C o 2+ 离子上的自旋空间取向只能 与晶体场轴向方向平行或反平行, 这种自旋称为I s i n g自旋. 我们用| 和| 表示在i格点 C o 2+ 离子上的电子自旋取 向. 用量子计算机的术语, 每一个 C o 2+ 离子代表一个量子比 特. 我们可以用一个包含近邻自旋耦合的、 锯齿状的一维I sing自旋链模型来描述 C o N b

2 O 6( 见图1) . 这里的 C o N b

2 O

6 基态为铁磁态, 其中所有自旋平行排列, 可以有如下2个可 能的铁磁基态波函数: ・

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1 ・ h t t p : oowww. w u l i . a c . c n ∥锢怼4 0卷(2011年) 2期= Nj=1 j或 = Nj=1 j,(1)这里 N 代表链上总自旋数. 正如在远离量子临界点时所预 期的那样, 基态波函数是简单的直积态. 非常小的外界扰动 就可以使晶体选择其中的一个基态波函数, 同时自旋向上和 自旋向下相互转换的性质受到破坏, 同时也破坏了自旋空间 内对x y 平面的反射对称性. 正如最近 R a d uC o l d e a和其合作者[ 1] 所做的那样, 外加 一个垂直于晶体易磁化轴方向的磁场可以使 C o N b

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6 产生 量子相变. 横向磁场强度就是可调参量g.当g奘,完 全不同于(

1 ) 式的基态就会出现. 由于 Z e e m a n耦合, 所有自 旋必须平行于外磁场, 这将会导致如下的基态波函数: = Nj=1 j , (

2 ) 这里, | j=

1 2 ( | j+| j). 将( 2) 式中的直积展开后可 以得到一个由 N 个量子比特的2 N 个等权重的多体叠加态, 这对量子计算非常有用. 与( 1) 式给出的态不同, ( 2) 式给出 的态具有自旋向上和自旋向下可互相转换的对称性, 同时保 持了在自旋空间对x y 平面的反射对称性. 这个量子态完全 不同于铁磁态, 称为量子顺磁态. 图1C o N b

2 O

6 材料的晶体结构. 其中 C o 2+ 离子携带一个

1 / 2自旋, 并形成一个锯齿状的一维自旋链. 没有外磁场时, 系统基态在a c面内形成铁磁态;

外加沿b轴的横向磁场, 增 加磁场强度可以导致自旋沿磁场方向的量子 顺磁态, 系统在g c 处发生二阶量子相变 实际上, 我们无法通过调节参量g 将( 1) 式的量子铁磁 态( g=0 ) 平缓地变到( 2) 式的量子顺磁态( g=) . 这是因为前者破坏了自旋空间对x y 平面的反射对称性, 而后者却 没有. 因此, 系统的基态能量密度函数中一定存在参量g 的 一个非解析点. 在那里, 铁磁基态的磁矩完全消失, 破缺的对 称性得到恢复, 这就是量子临界点g c . 现在, 让我们来更全面地描述连续量子相变, 以及基态波 函数作为参量g的性质. 在gg c 和gg c 极限下, 波函数都 是一个比较简单的直积态的形式. 在g=g c 时, 量子临界态则 是一个由2 N 自旋构型组成的、 非常不寻常的量子叠加态, 其 中自旋的关联呈现幂指数衰减形式. 细心的读者已经发现, 实 际上(

2 ) 式给出的态也是一个由2 N 自旋构型组成的量子叠加 态, 但它是一个等权重叠加态, 所以可以写成一个简单的直积 态形式. 相反, 我们还找不到一个可以将量子临界态― ― ―量子 纠缠态, 写成一个简单形式的局域基矢. 当不太远离临界点g=g c 时, 描述系统的重要物理量是 自旋关联长度 . 如果将大于这个关联长度的自旋平均处理 后, 那么系统的基态波函数可以分别被约化为gg c 和 gg c 极限下 的简单的直积态;

而小于关联长度的那些自旋, 其整体波函数就像是在 g=g c 时的量子纠缠态. 因为它 们无法确定自己到底是处在临界点的哪一边, 所以它们正好 刻画了量子临界点多尺度纠缠的属性. 关联长度蔚木咛迨 值是可调参量g 的函数, 我们这里讨论的连续相变的共同特 征是, 嗡| g-g c |0都是发散的. 伴随基态波函数随参量 g 的变化, 系统的低能激发性质也会发生改变. 利用中子散 射实验, 人们就可以探测到这些低能激发准粒子. C o l d e a等 人已经 在CoNb2O6材料中证实存在一个连续的量子相变[ 1] . 2《刍刺盘 第2个例子是 二聚化反铁磁体, T l C u C l 3. 这里Cu2+ 离 子携带1个未配对的局域电子, 我们可以用 S j 表示j 格点 上的自旋为1 / 2的算符, 用J i j 表示 C u 2+ 离子间的自旋-自 旋耦合强度, 则相应的自旋模型为 H = i0, (

3 ) 式中自旋间的耦合都是反铁磁性的, 倾向于 反平行排列. 还有当自旋处于二聚化状态时, 每一个自旋都 与它唯一的自旋伙伴紧密地耦合在一起, 与其他自旋的耦合 非常微弱. 图2描述了这个二聚化反铁磁体, 其中的反铁磁 耦合强度分别为J 和J / g 并且g1. 图2《刍刺盘 T l C u C l 3. 其中 C u 2+ 离子携带一个未 配对的局域电子, 自旋为1 / 2. 常压下, 最近邻的2个自旋配 对形成二聚化的价键单态. 随着压力的增强, 耦合参量g 减小, 系统通过量子相变成为具有 N e e l序的反铁磁体 在这个模型中, 当g=1时, 系统基态为反铁磁的 N e e l 序, 自旋以棋盘状方式排列, 每一个自旋都有各自的空间取 向, 系统的自旋旋转对称性被破坏了. 这时, 系统的波函数也 是一个简单的直积态的形式, 所以 N e e l序类似于I s i n g自旋 链中的铁磁有序, 只是自旋的极化取向是以空间交替模式出 现的. 每一个向上自旋都有向下的自旋作为近邻, 并在自旋 模型中贡献一个负的能量项. 现在, 让我们看g奘被ê男 式: 不同的二・221・PhysicsT o d a y 攫英 ∥锢怼4 0卷(2011年) 2期h t t p : oowww. w u l i . a c . c n 聚化间的耦合完全消失, 系统的哈密顿量变成一系列独立的 自旋对的集合. 我们可以很容易地写下一个二聚化自旋对的 波函 数, 它是一个自旋旋转不变的价键单态, ( | - | ) / 2. 尽管其中的两个自旋总是反平行, 但它们在自 旋空间却有任意的空间取向. 在g= 奘, 整个系统的基态 波函数就是所有这些价键单态的直积态, 它也是一个量子顺 磁态. 类似于I s i n g链的讨论, 在一定的g 值范围内, 系统处于 自旋旋转对称破缺的 N e e l态. 对称性的破缺在量子临界点 g=g c 处得到恢复, 在临界点之上, 系统基态则为量子顺磁的自旋单态. 在g=g c 处, 存在一个连续的相变点, 自旋在各 个长度尺度范围内具有非平庸的量子纠缠属性. 图2给出了 T l C u C l

3 的2种基态, 它们在 C h r i s t i a nR u e g g等人[ 2] 的实验 中通过调节压力已经被观察到, 而且两类不同基态所具有的 特殊的低能激发: 自旋波和稀少自旋三态准粒子, 同时也在 中子散射实验中被探测到. 3×孔恿俳................