PDF《2018 年复旦大学自主招生试题（部分学生回忆）》

2018 年复旦大学自主招生试题(部分学生回忆) 1.

设Rx? ,求函数 x x x x x x f ? ? ? ? ? ? ? ?

1 1

2 4

1 2

4 4

16 ) ( 的最小值. 2. 设824)(1????xxxf,求 }

0 ) ( | )

6 ,

6 ( { ? ? ? ? x f x A 的区间长度. 3. 求能放入一个半径为的球体的圆锥体积的最小值. 4. 极坐标系中,求曲线016 sin

8 cos

6 :

2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? C 上一点与曲线04sin

4 cos

2 :

2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? D 上一点的距离的最大值. 5. ABC ? 中,D为边BC 上一点,,

,,

,,

yCD x BD h AD b AC c AB ? ? ? ? ? 则222222cbhyx????是AD 为角平分线的什么条件? 6. 求最小正整数 k ,使得 k

4725 为完全平方数. 7.

1990 年,数学家()在巴黎国际数学大会上提出了

23 个未解问题. 8. 记正方体的六个面中心为 F E D C B A , , , , , ,先在这

6 点中任取两点连线,再在这

6 点中任 取两点连线,则两条线段平行但不重合的概率是多少? 9. 直线

0 2 : ,

0 1 :

2 1 ? ? ? ? ? ? ? m my x l y mx l 分别过定点 B A, ,若两条直线交于点 P ,求PB PA ? 的取值范围. 10. 在单位正方体 EFGH ABCD ? 中, N M , 分别为 AE CG, 的中点,P 为平面 BFGC 上一点, 并满足 || EP 面BMN ,求EP 长度的取值范围. 11. 已知在 ABC ? 中, )

7 ,

6 ( ),

3 ,

4 ( ),

2 ,

3 ( C B A ,求ABC ? 的面积. 12. 在ABC ? 中EC BE DB AD

2 ,

2 ? ? ,设直线CD 和AE 交于点 P ,若AC n AB m AP ? ? ,求),(nm.13. 令???Nnxnx x f , sin sin ) ( ,下列结论正确的是_ (1) ) (x f 是周期函数;

(2) ) (x f 有对称轴;

(3) ) (x f 关于 )

0 ,

2 ( ? 对称;

(4) n x f ? | ) ( | . 14. 若函数 ) (x f 满足 )

1 (

2 ) (

1 )

1 ( ? ? ? ? x x x f x x f ,求)2(f.15. 已知 )

1 ,

1 ( ),

1 ,

0 ( ? B A ,直线

1 ? ? by ax 与线段 AB 有公共点,求22ba?的最小值. 16. 设方程

3 4

3 log

3 log

27 3 ? ? ? x x 的两个根为 a 和b ,求ba?的值. 17. 已知方程023234?????xbx ax x 有两个实数根1,221???xx,则其余两根为 (1)相等实根;

(2)不同实根;

(3)共轭复根;

(4)以上都不对. 18. 定义

2 log ? ? ? y y x x ,解方程

0 4 )

4 ( ? ? ? x . 19. 已知

0 ? a ,设1124)(?????axxxf,若

2 2

1 a x x ? ,且012??xx,比较 ) (

1 x f 和)(2xf的大小. 20. 已知

0 36

12 2

3 4 ? ? ? ? ? x bx ax x 有二重根,求22)1(??ba的值. 21. 在10 ,

3 ,

2 ,

1 ? 中等概率的取出两个数ba, , 使得曲线2222)3(24113)1(????????yabxbayx是抛物线的概率为_ 22. 已知正数 b a, ,则abbalog log ? 是ba?的_条件. 23. 设PCBA,,

,是平面上不同的点,则0???PC PB PA 是P为ABC ? 的重心的_ 条件.