PDF《瞬态涡流问题求解的时域径向基函数方法》

9 ] .在涡流分 析中 ,文献 [ 10,

11 ]中采用 EFG方法分别计算了时 谐和瞬态涡流场. 本文将 RBF应用于瞬态涡流场的分析中 ,通过 分离待求函数的时间和空间变量 ,采用 RBF逼近空 间函数并用差分近似时间函数 ,实现 RBF和差分的 结合 ;

最后以薄铝片板和圆柱铁芯磁场的瞬态过程 为例进行仿真计算.

2 RBF求解涡流方程的基本原理 首先给出了瞬态涡流问题的磁场强度和矢量磁 位形式数学模型 ;

接着以边值问题为例阐述了 RBF 配点近似原理 ;

最后将待求函数按时间和空间变量 分离并分别用 RBF和差分近似 ,给出结合方法求解 涡流问题的基本原理.

211 瞬态涡流问题的数学模型 由于在导电媒质中 ,传导电流远大于位移电流 , 因而可忽略后者并构成准静态磁场的涡流模型.分 别给出以磁场强度和矢量磁位表示的控制方程. 瞬态涡流应满足的旋度方程和本构关系为 * H = J e , J e =σE, * E = - 5B 5t , B =μ H. (1) 式中 J e 为涡流密度.在均匀和各向同性媒质中 ,通 过对磁场强度的双旋度运算 ,可导出控制方程为

2 H =μ σ 5H 5t . (2) 当电导率、 磁导率为常数时 ,可仅引入矢量磁位 A并在库仑规范 ( ・A = 0)下 ,导出控制方程为

2 A =μ σ 5A 5t . (3) 对二维问题 , 式(2) 、 式(3) 可简化为标量方 程式 [12 ]

2 u =μ σ 5u 5t . (4) 式中 u为磁场强度或矢量磁位在直角坐标系中的某 一分量.通常 ,二维瞬态涡流问题的初边值形式为

2 u =μ σ 5u 5t , x∈ Ω,

0 < t < T, u =u, x∈ Γu ,

0 < t < T, 5u 5n =q, x∈ Γq ,

0 < t < T, u = u0 , x∈ Ω, t = 0. (5) 式中 :Ω 为求解域 ,Γu、 Γq 为第

一、 二类边界条件. 其算子形式为 Lu = K 5u 5t , x∈ Ω,

0 < t < T, Bu = g, x∈ Γ,

0 < t < T, u = u0 , x∈ Ω, t = 0. (6) 其中 K =μ σ, L和 B为拉普拉斯算子和边界算子.

212 RBF配点近似原理 径向基函数定义为 :从 d维空间 R d 到实数集 R 连续函数 Φ,且满足 Φ ( x)x‖) , Π x∈R d , 式中 ‖・‖ 为欧氏距离.常见的全域型 RBF有 :高 斯函数、 Multi2 Quadric (MQ )函数 < ( ‖x - c ‖) = ‖x - c‖

2 +α

2 和薄板样条函数 ,由于 MQ函数在 数值逼近中具有较好的精确度和指数收敛特性而得 以广泛选用 ,其表达式中的参数 c和 α分别表示径 向函数的中心和形状参数. 以椭圆边值问题为例 , RBF 配点近似原理如 下 :设待求函数 U ( x)满足的边值问题为 L [U ( x) ] = f ( x) , x∈ Ω, B [U ( x) ] = g ( x) , x∈ Γ. (7) 取其 RBF近似式为 U ( x) ≈ U ^ ( x) = ∑ i λi