PDF《Haldane大叔的猜想 | 诺奖深度解析 （之三）》

(2)具有有限的能隙;

(3)具有自旋S=1/2的边界态.其中第三条是 Haldane phase最异乎寻 常也最引人注意的地方.可惜的是 Haldane本人没有意识到整数自旋链具有半整数自旋边界态这个奇 特性质,后来才被 Tai-Kai Ng从场论角度解释清楚Ng [1994].看来 Nobel奖级的大人物的思维也 有断电的时候:-);

亦或是 Haldane大叔宅心仁厚,给后人分一杯羹. 图2: (a) 反铁磁海森堡自旋梯子的量子蒙特卡洛模拟结果.纵轴为磁化率,横轴为温度.偶数条腿的自旋梯子,相当 于S 为整数的自旋链,具有能隙,磁化率在低温下指数地降为零;

奇数条腿的自旋梯子,相当于S 为半整数的自旋 链,没有能隙,磁化率在低温下为常数.(b) S =

1 的反铁磁海森堡自旋链中的边界态.(c) S =

1 的反铁磁海森堡 自旋链中的Haldane gap, L 为链长度,在链为无穷长时(1/L^2 = 0), gap 为有限值. AKLT 模型与S=1 的反铁磁海森堡模型并不完全一致,但它们的基态都属于Haldane phase,具 有共同的性质.随后人们发现,Haldane phase 中虽然没有明显的对称破缺,却存在隐藏的对称破 缺,而且可以通过所谓的弦序参量(string order) 来描述这一隐藏的对称破缺造成的长程序den Nijs and Rommelse [1989].值得注意的是,被破缺 的隐藏的对称性是非局域的对称性,与通常的global 的对称性是不同的.而且弦序参量本身也是非局 域的,不同于通常意义上的局域物理量的长程关联(如下式). 由于具有上述一系列非平凡的物理性质,Haldane phase 是目前公认的早期被发现的拓扑相之 一(另一个典型的例子是量子霍尔态).Haldane 猜想提出不久便吸引了数值和实验上的大量的研 究.下面我们来看看Haldane phase, Haldane gap 存在的证据.

90 年代初,Steven White 发明了密度矩阵重正化群的计算方法,并在S =

1 反铁磁海森堡模型 自旋链中直接看到S = 1/2 的自旋边界态和体内有限大小的Haldane gap (如图2(b,c) 所示)White [1992], White and Huse[1993];

而整数和半整数自旋的反铁磁自旋链,还可以推广的具有偶数和奇 数条腿的S=1/2 反铁磁海森堡自旋梯子,如图2(a) 所示,对于自旋梯子的量子蒙特卡洛模拟中,整 数和半整数自旋在能谱上的不同也被清楚地看到Dagotto and Rice [1996]. 实验学家嗅觉也异常灵敏,80 年代便有实验数据显示了Haldane gap 的存在.后来陆续不少实 验验证了基态的无序,以及参杂后断链处出现S = 1/2 的边界磁矩.图3中显示的是S =

1 的反铁磁自 旋链材料CsNiCl3的非弹性中子散射谱Kenzelmann et al. [2002],人们清楚地看到了自旋能隙. 图3: 自旋链材料CsNiCl3 的中子散射谱,Ni2+ 离子自旋S=1,排成链状.转移动量Qc=1.00 处的自旋能隙清晰可 见. 现在,我们回到理论上的问题,尝试着从凝聚态场论的角度,理解Haldane 大叔的猜想和其中拓 扑思想的精髓.Haldane 首先指出反铁磁自旋链的低能有效作用量可以用拓扑O(3) Nonlinear sigma(NLS)模型来描述.人们熟悉的通常的O(3) NLS 作用量为 Haldane 指出,需要在上述作用量的基础上加上一个现在被称为θ-term 的拓扑项(两者合起来被称 为拓扑NLS) 其中 = 2S,S 可以为整数或者半整数,n(x;

t) 是单位矢量,描述连续时空中的自旋场局域反铁磁序 的方向,(x;

t) 是2 维连续时空坐标(术语叫1+1 维).这个拓扑项θ -term 正是Haldane 猜想产生 的根源. 为了看清这个θ-term 的影响,我们不妨先不考虑它,看看普通的NLS 中会发生什么.如果把 NLS 中的单位矢量 n 换成标量? , 则其经典运动方程为: ,从而给出色散关系: ,在k =