PDF《答案与提示》

1 答案与提示 矩阵与行列式练习题 §1 向量与矩阵 1.

(1) , .不成立;

(2) , .不成立. 2. . 3. . 4. . 5. (1) , ;

(2)提示:利用(1)的结论,并比较 和 的各元素. 6. 提示: (1) , (2) , (3) , (4) 按定义直接验证;

(5) . 7. . 8.提示:直接验证. 9. . 10. 11. . 12. , , , 为任意常数. 13.提示:直接验证. 14.提示: (1)利用矩阵乘法的定义计算 和;

(2)利用(1)的结

2 论. 15.提示:利用乘法分配律直接验证. 16.提示:参见例 1.1.15. §2 行列式 1. (1) ;

(2) ;

(3) ;

(4) . 2.3. 3.提示:原行列式可表为 . 4.1. 5.0. 6. . 7. . 8. . 9.提示:将一些列的适当倍数加到后面的列. 10. (1) ;

(2) ;

(3) ;

(4) ;

(5) ;

(6) ;

(7) . 11.1, ,2, . 12.有 个根: 13.提示:将各列加到第一列,再将第一行的( )倍数加到下面各行. 14.提示:将第一行的适当倍数加到下面各行. 15.提示:用数学归纳法. 16.提示:对下式取行列式: . 17.提示:从第 行提取公因子 ( ) ,再利用 Vandermonde 行列 式的结论.

3 18.提示:从最后一行开始依次减去前面一行,并利用 .之后按 第一列展开,再重复前面的步骤. 19. . 20. . §3 逆阵1.(1) ;

(2) ;

(3) . 2. , 中所有元素的代数余子式之和为 1. 3. . 4. . 5. , , . 6. . 7. . 8. . 9.提示:利用 . 10.提示:利用矩阵运算规则直接验证. 11.提示:利用 .

4 12. . 13. . 14. . 15.提示: (1) ;

(2)用反证法及(1)的结论. 16. . 17.提示:题目的假设就是 . 18. (1)提示:利用例 1.3.15(2)的方法;

(2) ;

(3) . 19. 20. . 21. 提示: 方程组的系数行列式为 , 其解为 ( ) . 线性方程组练习题 §1 向量的线性关系 1. (1)线性无关;

(2)线性相关. 2.当且时线性相关,其他情形线性无关. 3. (1)当时,线性相关;

(2) 时,线性无关;

(3)能. . 4. (1)当或,线性相关;

(2)当且时,线性无关. 5. . 6.当 为偶数时,线性相关;

当 为奇数时,线性无关. 7.能. 8. (1)能;

(2)不能. 9. 且.10.提示:略. 11.提示:利用线性相关定义的线性表达式,再左乘 . 12.提示:按定义推知. 13.提示:必要性由定义和 Cramer 法则导出.充分性通过 可以被

5 线性表示推出. 14.提示:对等式中的系数是否有为零进行讨论. 15.提示:充分性由 Cramer 法则导出;

必要性利用第

13 题的结论. 16.提示:记 的行向量为 , 的行向量为 ,则由 得().若 ,则可得 ,即.由此得 . 17.提示:用数学归纳法. 18.提示:按定义写出线性组合为 的表达式,再左乘 ,证明每个系数为 0. 19.提示:记 ,则 . §2 秩1. (1)3;

(2)2;

(3) 时,秩为 ;

时,秩为 . 2.3. 3. (1)线性相关;

(2)线性无关. 4.秩为 4;

, , , 是一个极大无关组. 5.当或时, , , , 线性相关. 当时, 是一个极大无关组,此时 , , . 当时, , , 是一个极大无关组,此时 . 6.提示:考虑极大无关组. 7.不等价. 8. . 9. . 10.提示:由 可得 rank rank . 11.提示: rank( ) rank rank( ),以及从 得rank rank( ) . 12.提示:利用定理 2.2.5 的(6) . 13.提示:由 可推知 . 14.提示:利用定理 2.2.5 的(4)和(6) . 15. 1. 16.提示: (1)充分性易知.必要性:设rank( ) .通过行初等变换,即存 在可逆矩阵 ,使得 ,其中 为 阶可逆矩阵.此时

6 . (2)的证明类似. 17.提示:由定理 2.2.6,存在 阶可逆矩阵 和 阶可逆矩阵 ,使得 . §3 线性方程组 1. (1) , , , 是任 意常数. (2) , 是任意常数. (3)无解. 2.当或时有非零解. (1)当时,通解为: 时, ;

时, , 其中 , 为任意常数. (2)当时,通解为: 时, ;