PDF《第1题图》

解直角三角形的实际应用 1.

如图,某同学在大楼 AD 的观光电梯中的 E 点,测得对面大楼 BC 的楼底 C 点的俯角为 45°,此时该同学距地面高度为

26 米,若电梯再上升

10 米到达 D 点,此时测得大楼 BC 的楼顶 B 点的仰角为 37°,求大楼 BC 的 高度. (结果保留整数, 参考数据: sin37°≈0.60, cos37°≈0.80, tan37° ≈0.75) 第1题图 解:如解图,分别过点 E、D 作BC 的垂线,交BC 于点 F、G. 在RtEFC 中, ∵FC=AE=26(米),∠FEC=45°, ∴EF=FC=26(米). 在RtDBG 中, DG=EF=26(米),∠BDG=37°, ∵tan∠BDG= BG DG , ∴BG=DG・tan∠BDG≈26*0.75=19.5(米). 第1题解图 与圆有关的证明及计算 2. 如图,已知 AB 为⊙O 的直径, BC 与⊙O 相切于点 B,AC 交⊙O 于点 E,D 为AC 上一点,∠AOD=∠C. (1)求证:AB2 =AE・AC;

(2)若AD=4,EC=

9 2 ,求⊙O 的半径. 第2题图 (1)证明:如解图,连接 BE, ∵AB 为⊙O 的直径, ∴∠AEB=90°, ∵BC 是⊙O 的切线, ∴∠ABC=90°, ∴∠AEB=∠ABC, ∵∠EAB=∠BAC, ∴EAB∽BAC, ∴ AE AB = AB AC ,即AB2 =AE・AC;

(2)解:∵BC 是⊙O 的切线, ∴∠ABC=90° , ∴∠A+∠C=90° , 又∵∠AOD=∠C,∴∠AOD+∠A=90°, ∴∠ADO=90°,∴OD⊥AC, ∴D 为AE 的中点,∴AE=2AD=8, ∴AC=AE+EC=

25 2 , ∴AB2 =AE・AC=8*

25 2 =100, ∴AB=10,∴AO=5, 即⊙O 的半径为 5. 第2题解图 3. 如图,ABC 内接于⊙O,AB 为直径,∠CBA 的平分线 BD 交AC 于点F,交⊙O 于点 D,过点 D 作DE⊥AB 于点 E,交AC 于点 P,连接 AD. (1)求证:P 是线段 AF 的中点;

(2)连接 CD,若CD=3,BD=4,求⊙O 的半径和 DE 的长. 第3题图 (1)证明:如解图,∵AB 为直径, ∴∠ADB=90°, ∵DE⊥AB 于点 E,∴∠DEB=90°, ∴∠1+∠3=∠5+∠3=90°, ∴∠1=∠5, 又∵BD 平分∠CBA, ∴∠CBD=∠5, ∵∠2=∠CBD,∴∠2=∠5, ∴∠1=∠2,∴PD=PA, ∵∠4+∠2=∠1+∠3=90°, ∴∠3=∠4,∴PD=PF, ∴PA=PF,即P是线段 AF 的中点;

(2)解:如解图,由(1)知∠2=∠5, ∵∠5=∠DCA, ∴∠2=∠DCA, ∴AD=CD=3, ∵∠ADB=90°,BD=4, ∴AB=5, 故⊙O 的半径为

5 2 , ∵SABD=

1 2 DE・AB=

1 2 AD・BD, ∴5DE=3*4, ∴DE=

12 5 . 第3题解图 二次函数综合题 4. 如图,在平面直角坐标系中,抛物线 y=ax

2 -3ax+b(a≠0)的图 象经过点 A(2,6)和点 B(点B在点 A 的右侧),交y轴于点 C,且BC∥x 轴, tan∠ACB=2. (1)求抛物线的解析式;

(2)若点 P 为x轴上方抛物线上一点,且SOCP=SBCP,求点 P 的坐标. 第4题图 【思维教练】(1)要求抛物线解析式,结合已知条件求出点 C 坐标,再 利用待定系求抛物线解析式;

(2)要求抛物线上一点 P,使SOCP=SBCP,设 出点 P 坐标,用含点 P 坐标的式子分别表示出OCP、BCP 的面积,列等 式求解即可. 解:(1)∵A(2,6),tan∠ACB=2, ∴点A到BC 的距离为 4, ∴OC=6-4=2,即C(0,2), 将A(2,6),C(0,2)代入 y=ax2 -3ax+b 得: 4a-6a+b=6 b=2 ,解得 a=-2 b=2 . 故抛物线的解析式为 y=-2x

2 +6x+2;

(2)∵BC∥x 轴, ∴点B纵坐标为 2, 令y=-2x

2 +6x+2=2,解得 x1=0(舍),x2=3, ∴B(3,2), 设点 P 坐标为(x,-2x

2 +6x+2), ∴SOCP=

1 2 |OC|・|x|=|x|, SBCP=

1 2 |BC|・|2+2x2 -6x-2|=|3x2 -9x|, ∵SOCP=SBCP, ∴x=3x

2 -9x 或x=-3x

2 +9x, 解得:x1=0(舍),x2=

10 3 ,x3=

8 3 , 当x=

10 3 时,-2x

2 +6x+2=-

2 9 ;

当x=

8 3 时,-2x

2 +6x+2=

34 9 . 故点 P 的坐标为(

10 3 ,-

2 9 )或(

8 3 ,

34 9 ). 5. 如图,直线 y=-x+3 与x轴,y 轴分别交于 B、C 两点,抛物线 y=ax

2 +bx+c 过A(1,0)、B、C 三点. (1)求抛物线的解析式;

(2)若点 M 是抛物线上的一动点,过点 M 作MN∥y 轴交直线 BC 于点 N,求线段 MN 的最大值. 第5题图 【思维教练】(1)要求抛物线的解析式,A 点坐标已知,只需根据直线 的解析式确定 B、C 两点的坐标,利用待定系数法求解即可;