PDF《离散数学作业 22–布尔代数引论》

离散数学作业 22C布尔代数引论 Problem

1 设B是布尔代数,B 中的表达式 f 是(a ∧ b) ∨ (a ∧ b ∧ c) ∨ (b ∧ c).

(1) 化简 f;

(2) 求f的对偶式 f? . Problem

2 设B是布尔代数, ?a, b ∈ B, 证明: a ? b ? a ∧ b ′ =

0 ? a ′ ∨ b = 1. Problem

3 设 是布尔代数, 在B上定义二元运算 ?, ?x, y ∈ B 有x?y=(x ∧ y ′ ) ∨ (x ′ ∧ y) 问 能否构成代数系统?如果能,指出是哪一种代数系统. 为什么?

1 Problem

4 设B是布尔代数, ?a, b, c ∈ B, 若a?c, 则有 a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ c 称这个等式为模律,证明布尔代数适合模律. Problem

5 设B是布尔代数, a1, a2,an ∈ B, 证明: (1) (a1 ∨ a2 an) ′ = a ′

1 ∧ a ′

2 a ′ n (2) (a1 ∧ a2 an) ′ = a ′

1 ∨ a ′

2 a ′ n Problem

6 设B为布尔代数,试证明: (?a, b ∈ B)(a ? b ? b′ ? a′ ), 其中 a′ 表示 a 的 补元. Problem

7 设B1, B2, B3 是布尔代数, 证明: 若B1 ? = B2,B2 ? = B3, 则B1 ? = B3. Problem

8 今有 x, y, z 三个布尔变元,用xyz 表示 0-7 之间的一个二进制数.定义布 尔函数 F:当xyz 是一个斐波那契数时 F(x, y, z) = 1,否则 F(x, y, z) = 0. (1) 给出 F 的真值表.

2 (2) 以 "布尔积之布尔和" 的形式给出 F 的表达式(无需化简) . (3) 化简该表达式. Problem

9 表示布尔函数小项的和称为此函数的积之和展开式, 求布尔函数 F(ω, x, y, z) 的积之和展开式, F(ω, x, y, z) =

1 当且仅当: (1) x =

0 (2) xy =

0 (3) x + y =

0 (4) xyz =

0 Problem

10 (1) 在布尔代数中证明, 幂等律即 x ∨ x = x 和x∧x=x对于每一个元素 x 成立 (2) 证明模性质在布尔代数中成立, 即证明 x∧(y∨(x∧z)) = (x∧y)∨(x∧z) 且x∨(y ∧ (x ∨ z)) = (x ∨ y) ∧ (x ∨ z) 3