PDF《第二章》

第二章 微积分的直接基础――极限

第一节 数列极限 主要内容: 数列及数列极限的概念 早在两千多年前,人们从生活、生产实际中产生了朴 素的极限思想,公元前3世纪,我国的庄子就有"一尺 之棰,日取其半,万世不竭"的名言.

17世纪上半叶法国 数学家笛卡儿(Descartes)创建解析几何之后,变量就 进入了数学. 随后牛顿(Newton、英国)和莱布尼茨 (Leibniz、德国)集众多数学家之大成,各自独立地发 明了微积分,被誉为数学史上划时代的里程碑. 微积分 诞生不久,便在许多学科中得到广泛应用,大大推动那 个时代科学技术的发展和社会进步. 经过长达两个世纪 的自身理论不断完善的过程,才建立了极限理论. 可见 "极限"是微积分的基础. 阿基里斯追龟 一位古希腊学者芝诺(Zenon,约 公元前496 ― 约前429)曾提出一个著 名的"追龟"诡辩题.大家知道,乌龟 素以动作迟缓著称,阿基里斯则是古希 腊传说中的英雄和擅长跑步的神仙. 芝 诺断言:阿基里斯与龟赛跑,将永远追 不上乌龟! A B B B1 假定阿基里斯现在A处,乌龟现在B处.为了赶上乌龟 ,阿基里斯先跑到乌龟的出发点B,当他到达B点时, 乌龟已前进到B1点;

当他到达B1点时,乌龟又已前进到 B2点,如此等等.当阿基里斯到达乌龟前次到达过的地 方,乌龟已又向前爬动了一段距离.因此,阿基里斯是 永远追不上乌龟的! B1 B2 让我们再看一看乌龟所走过的路程:设阿基里斯的速 度是乌龟的十倍,龟在前面10米.当阿基里斯跑了10米时,龟已前进了1米;

当阿基里斯再追1米时,龟又前 进了0.1米,阿再追0.1米,龟又进了0.01米…..把阿基里 斯追赶乌龟的距离列出,便得到一列数: 10,1,0.1,0.01,…,102-n,… 这称为数列,an =102-n 为通项,数列常简记为 { an }. 所以阿基里斯追上乌龟所必须跑过的路程为 所以,阿基里斯只要坚持跑到11.2米的路程就可以 追上乌龟! 然而芝诺将这样一个直观上都不会产生怀 疑的问题与无限纠缠在一起,以至于在相当 长时间内不得不把"无限"排除在数学之外. 直到19世纪,当反应变量无限变化极限理论 建立之后,才可用极限理论回答芝诺的挑战. 一列数: 10,1,0.1,0.01,…,102-n,… 称为数列. 102-n为通项. 一尺之棰,日取 其半,万世不竭. 初始长度为:1

一、数列的极限(问题的引入): 在《庄子・ 天下篇》 中有"截丈问题"的 精彩论述: 第一天剩的长度为: 截丈问题: 一尺之棰,日取 其半,万世不竭. 第二天剩的长度为: 截丈问题: 一尺之棰,日取 其半,万世不竭. 第三天剩的长度为: 截丈问题: 一尺之棰,日取 其半,万世不竭. 第四天剩的长度为: 截丈问题: 一尺之棰,日取 其半,万世不竭. 这样可以看出第n 天剩的长度为: 一尺之棰,日取 其半,万世不竭. 于是得到了数列: 当n 越来越大时,棰越来越短,逐渐趋于0. 再看一下整个过程. 举例: ① 这个数列的通项是:

0 1 C1 x … xn x2 x1 x

0 x3 … ② 这个数列的通项是: 数列极限的定义(定性描述): 若该数列不以任何常数为极限,则称 这个数列发散. 也称该数列收敛. 这个定义是在运动观点的基础上凭借几 何图像, 直觉用自然语言作出的定性描述. 因为当n?∞ 时, 趋 近于常数

0 . 因为当n?∞ 时, 反复地取 1和-1, 没有明显的变化趋势,是 发散的.

0 1 C1 x … an a2 a1 x

0 a3 … 注: ④中各项均为相同的数(常数) 1,我们 把这样的数列称作常数列.因为不论 n 取 何值,每项都是1,因此该数列的极限是1. ③ 2, 4, 6, …, 2n, … ④ 1, 1, …,1,…, 1,… 这个数列的通项是: 这个数列的通项是: 数列有以下几种变化趋势: 数列的变化 趋势 下面我们直观地看一下 极限的定义 在数学中一定要力避几何直观可能带来的错 误,因此作为微积分逻辑演绎基础的极限概念, 必须将凭借直观产生的定性描述转化为用形式 化的数学语言表达的,超现实原型的理想化的 定量描述. 当n无限增大时, 是否无限接近于某一确 定的数值?如果是,如何确定? "无限接近"意味着什么?如何用数学语言刻画 它. 如果数列没有极限,就说数列是发散的. 定义 如果对于任意给定的正数ε(不论它多么 小),总存在着相应正整数N,使得满足n>N的 一切n, End 注: 该数列有一定的发展趋势――趋向于无穷 大,并不收敛,所以{ 2n }无极限.为叙述 方便,可以说{ 2n }的极限是+∞. 因为n?∞ 时,{2n} 逐渐变得无穷大,并不 趋近于 某个常数.但由于{2n} 的变化趋势是逐 渐增大的, 所以又可认为该数列趋于无穷大. 即Back