PDF《第三章习题及答案》

第三章习题及答案 3.

1 一个二维物函数 ,在空城尺寸为

10 ( y x f , ) *10mm ,最高空问频率为

5 线/mm,

2 为了制作一张傅里叶变换全息图: (1)确定物面抽样点总数. (2)若采用罗曼型迂回相位编码方法,计算全息因上抽样单元总数是多少? (3)若采用修正离轴参考光编码方法,计算全息图上抽样单元总数是多少? (4)两种编码方法在全息因上抽样单元总数有何不同?原因是什么? 解答: (1)假定物的空间尺寸和频宽均是有限的.设物面的空间尺寸为 x Δ , y Δ :频宽为 , .根据抽样定理,抽样间距 x B

2 y B

2 x δ 和yδ卸必须满足 x B x

2 1 ≤ δ , y B y

2 1 ≤ δ 才能使物复 原.故抽样点总 N (即空间带宽积 SW 为410

5 2

5 2

10 10

2 2 N = * * * * * = = Δ Δ = Δ ? Δ SW B B y x y y x x y x δ δ = (2)罗曼计算全息图的编码方法是在每一个抽样单元里.用开孔的大小和开孔的位置来编码 物光波在该点的振幅和相位根据抽祥定理,在物面上的抽样单元数应为物面的空间带宽积, 即 .要制作傅里叶变换全息图,为了不丢失信息,空间带宽积应保持不变, 故在谱面上的抽样点数仍应为 .

4 10 = = SW N

4 10 = N (3)对于修正离铀参考光的编码方法,为满足离轴的要求,载频α 应满足: x B ≥ α .为满足制 作全息图的要求,其抽样间隔必须满足 x B x

4 1 ≤ δ , y B y

2 1 ≤ δ .) 因此其抽样点数为 ( )( )

4 10

2 10

20 10

2 4 * = * * = Δ Δ = Δ ? Δ = y x B B y x y y x x N δ δ (4)两种编码方法的抽样点总数为

2 倍关系,这是因为,在罗曼型编码中,每一抽样单元编 码―复数;

在修正离轴型编码中,每一抽样单元编码一实数. 修正离轴加偏置量的目的是使全息函数变成实值非负函数,每个抽样单元都是实的非负值, 因此不存在位置编码问题, 比同时对振幅和相位进行编码的方法简便. 但由于加了偏置分量, 增加了记录全息图的空间带宽积, 因而增加了抽样点数. 避免了相位编码是以增加抽样点数 为代价的 3.2 对比光学离轴全息函数和修正型离轴全息函数,说明如何选择载频和制作计算 全息图的抽样频率. 解答: 设物的频宽为 ( ) y x B B

2 ,

2 . (1)对于载频α 的选择 光学离轴: x B

3 ≥ α . 修正离轴: x B ≥ α . 载频的选择是为了保证全息函数在领域中各结构分量不混叠. (2)对于制作计算全息图时抽样频率的选择 光学离铀全息: 在x方向的抽样频率应 ,即x方向的抽样间距 x B

8 ≥ x B x

8 1 ≤ δ . 在y方向的抽样频率应 ,即y方向的抽样间距 y B

4 ≥ y B y

4 1 ≤ δ . 修正离铀全息: 在x方向的抽样频率应 ,即x方向的抽样间距 x B

4 ≥ x B x

4 1 ≤ δ . 图3.1 在y方向的抽样频率应 .即y方向的抽样间距 y B

2 ≥ y B y

2 1 ≤ δ . 抽样间距的选择必须保证整体频谱(包括各个结构分量)不混叠. 3.3 一种类似傅奇型计算全总图的方法,称为黄氏(肋贝 d8)法,这种方法在偏置项中 加入物函数本身,所构成的全息函数为 [ ] { } y x ax y x A y x h ,

2 cos

1 ,

2 1 , φ π ? + = 1)画出该全息函数的空间频率结构,说明如何选择载频. 2)画出黄氏计算全息图的空间频率结构,说明如何选择抽样频率 解答: 把全息函数重写为: [ ] ( ) x j y x j y x A x j y x j y x A y x A y x h πα φ πα φ

2 exp , exp ,

4 1

2 exp , exp ,

4 1 ,

2 1 , ? + ? + = 物函数为 [ ] y x j y x A y x f , exp , , φ = 并且是归一化的,即()1,max = y x A ,参考光被 R=1 经过处理后的振幅透过率为 [ ] ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) x j y x f x j y x f y x A t x j y x j y x A x j y x j y x A y x A t y x t πα β πα β β πα φ β πα φ β β

2 exp ,

4 1

2 exp ,

4 1 ,

2 1

2 exp , exp ,

4 1

2 exp , exp ,

4 1 ,

2 1 , * ' ' '

0 ' ' '

0 + ? + + = ? + ? + + = ) 其频谱为 η α ξ β η α ξ β η ξ β η ξ δ η ξ ? ? ? + ? + + = ,

4 1 ,

4 1 ,

2 1 , , ' ' ' '

0 F F F t T (1)设物的带宽为 , . x B

2 y B

2 全息函数的空间频谱结构如图题 3.1(b)所示,载频 x B

2 ≥ α . (2)黄氏全息图的空间频率结构如图题 3.1(c)所示,由此可得出 在x方向的抽样频率应 ,即抽样间距 x B

6 ≥ x B x

6 1 ≤ δ . 在y方向的抽样频率应 ,即抽样间距 y B

2 ≥ y B y

2 1 ≤ δ 抽样点数即空间带宽积为 y x B xyB y y x x SW N

12 = = = δ δ . 黄氏计算全息图的特点: (1)占用了更大的空间带宽积(博奇全息图的空间带宽积 y x B xyB SW

8 = ), 不具有降低空间带 宽积的优点;

(2)黄氏全息图具有更高的对比度,可以放松对显示器和胶片曝光显影精度的要求. 3.4 罗曼迂回相位编码方法有三种衍射孔径形式,如图题 3.2 所示.利用复平面上 矢量合成的方法解释,在这三种孔径形式中,是如何对振幅和相位进行编码的. 图3.2 解答: 对于罗曼 I 型和 III 型,是用 x Aδ 来编码振幅 ( ) y x A , ,用xdδ 来编码相位 ( y x, ) φ ,在复平 面上用一个相幅矢量来表示,如图题 3.3(a) . 图3.3 对于罗曼 II 型是用两个相同宽度和高度的矩孔来代替 I, III 型中的一个矩孔. 两矩孔之间的 距离 x Aδ 是变化的,用这个变化来编码振幅 ( ) y x A , .在复平面上反映为两个矢量夹角的变 化.两个矩孔中心距离抽样单元中心的位移量 x dδ 用作相位 ( ) y x, φ 的编码.在复平面上两 矢量的合成方向即表示 ( y x, ) φ 的大小,如图题 3.3(b)所示.