PDF《2018 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）》

绝密启用前

2018 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷) 数学Ⅰ 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.

本试卷共

4 页,均为非选择题(第1题~第20 题,共20 题).本卷满分为

160 分,考试时间为

120 分钟.考试结束后,请将本试卷和答题卡一片交回. 2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位 置. 3.请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符. 4.作答试题,必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无 效. 5.如需作图,须用 2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.学科.网 参考公式: 锥体的体积 ,其中 是锥体的底面积, 是锥体的高.

1 3 V Sh ? S h

一、填空题:本大题共

14 小题,每小题

5 分,共计

70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1.已知集合 , ,那么 . {0,1,2,8} A ? { 1,1,6,8} B ? ? A B ? ? 2.若复数 满足 ,其中 i 是虚数单位,则 的实部为 . z i

1 2i z ? ? ? z 3.已知

5 位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示,那么这

5 位裁判打出的分数的平均数为 . 4.一个算法的伪代码如图所示,执行此算法,最后输出的 S 的值为 . 5.函数 的定义域为 .

2 ( ) log

1 f x x ? ? 6.某兴趣小组有

2 名男生和

3 名女生,现从中任选

2 名学生去参加活动,则恰好选中

2 名女生的概率为 . 7.已知函数 的图象关于直线 对称,则 的值是 . sin(2 )( )

2 2 y x ? ? ? ? ? ? ? ? ?

3 x ? ? ? 8.在平面直角坐标系 中,若双曲线 的右焦点 到一条渐近线的距离为 xOy

2 2

2 2 1( 0, 0) x y a b a b ? ? ? ? ( ,0) F c ,则其离心率的值是 .

3 2 c 9.函数 满足 ,且在区间 上, 则 的值 ( ) f x ( 4) ( )( ) f x f x x ? ? ?R ( 2,2] ? cos ,0 2,

2 ( )

1 | |,

2 0,

2 x x f x x x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - ( (15)) f f 为.10.如图所示,正方体的棱长为 2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 . 11.若函数 在 内有且只有一个零点,则在上的最大值与最小值

3 2 ( )

2 1( ) f x x ax a ? ? ? ?R (0, ) ?? ( ) f x [ 1,1] ? 的和为 . 12.在平面直角坐标系 中,A 为直线 上在第一象限内的点, ,以AB 为直径的圆 C 与xOy :

2 l y x ? (5,0) B 直线 l 交于另一点 D.若 ,则点 A 的横坐标为 .

0 AB CD ? ? ??? ? ??? ? 13.在中,角 所对的边分别为 , , 的平分线交 于点 D,且ABC , , A B C , , a b c

120 ABC ? ? ? ABC ? AC ,则 的最小值为 .

1 BD ? 4a c ? 14.已知集合 , .将 的所有元素从小到大依次排列构 * { |

2 1, } A x x n n ? ? ? ?N * { |

2 , } n B x x n ? ? ?N A B ? 成一个数列 .记 为数列 的前 n 项和,则使得 成立的 n 的最小值为 . { } n a n S { } n a

1 12 n n S a ? ?

二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤. 15. (本小题满分

14 分) 在平行六面体 中, .

1 1

1 1 ABCD A B C D ?

1 1

1 1 , AA AB AB B C ? ? 求证:(1) ;

1 1 AB A B C 平面 ∥ (2) .

1 1

1 ABB A A BC ? 平面平面 16. (本小题满分

14 分) 已知 为锐角, , . , ? ?

4 tan

3 ? ?

5 cos( )

5 ? ? ? ? ? (1)求 的值;

cos2? (2)求 的值. tan( ) ? ? ? 17. (本小题满分

14 分) 某农场有一块农田,如图所示,它的边界由圆 O 的一段圆弧 (P 为此圆弧的中点)和线段 MN MPN 构成.已知圆 O 的半径为

40 米,点P到MN 的距离为

50 米.现规划在此农田上修建两个温室大棚, 大棚Ⅰ内的地块形状为矩形 ABCD,大棚Ⅱ内的地块形状为 ,要求 均在线段 上, CDP , A B MN 均在圆弧上.设OC 与MN 所成的角为 . , C D ? (1)用 分别表示矩形 和 的面积,并确定 ? ABCD CDP sin? 的取值范围;

(2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜,大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜,且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 .求当 为何值

4 :3 ? 时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大. 18. (本小题满分

16 分) 如图,在平面直角坐标系 中,椭圆 C 过点 ,焦xOy

1 ( 3, )

2 点 ,圆 O 的直径为 .

1 2 ( 3,0), ( 3,0) F F ?

1 2 F F (1)求椭圆 C 及圆 O 的方程;

(2)设直线 l 与圆 O 相切于第一象限内的点 P. ①若直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点,求点 P 的坐标;

②直线 l 与椭圆 C 交于 两点.若 的面积为 , , A B OAB

2 6

7 求直线 l 的方程. 19. (本小题满分

16 分) 记 分别为函数 的导函数.若存在 ,满足 且 ,则 ( ), ( ) f x g x ? ? ( ), ( ) f x g x

0 x ?R

0 0 ( ) ( ) f x g x ?

0 0 ( ) ( ) f x g x ? ? ? 称 为函数 与 的一个 S 点 .学科%网0x()fx()gx(1)证明:函数 与 不存在 S 点 ;

( ) f x x ?

2 ( )

2 2 g x x x ? ? ? (2)若函数 与 存在 S 点 ,求实数 a 的值;

2 ( )

1 f x ax ? ? ( ) ln g x x ? (3)已知函数 , .对任意 ,判断是否存在 ,使函数 与2()fxxa???e()xbgxx?0a?0b?()fx()gx在区间 内存在 S 点 ,并说明理由. (0, ) ?? 20. (本小题满分

16 分) 设 是首项为 ,公差为 d 的等差数列, 是首项为 ,公比为 q 的等比数列. { } n a

1 a { } n b

1 b (1)设 ,若 对 均成立,求d的取值范围;

1 1 0, 1,

2 a b q ? ? ?

1 | | n n a b b ? ? 1,2,3,4 n ? (2)若 ,证明:存在 ,使得 对 均成立, *

1 1 0, , (1, 2] m a b m q ? ? ? ? N d ?R

1 | | n n a b b ? ? 2,3, ,

1 n m ? ? ? 并求 的取值范围(用 表示) . d 1, , b m q 数学Ⅰ试题参考答案

一、填空题:本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法.每小题

5 分,共计

70 分. 1.{1,8} 2.2 3.90 4.8 5.[2,+∞) 6. 7. 8.2

3 10 π

6 ? 9. 10. 11.C3 12.3

2 2

4 3 13.9 14.27

二、解答题 15.本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系,考查空间想象能力和推理论证 能力.满分

14 分. 证明:(1)在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB∥A1B1. 因为 AB 平面 A1B1C,A1B1 平面 A1B1C, ? ? 所以 AB∥平面 A1B1C.学.科网 (2)在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,四边形 ABB1A1 为平行四边形. 又因为 AA1=AB,所以四边形 ABB1A1 为菱形, 因此 AB1⊥A1B. 又因为 AB1⊥B1C1,BC∥B1C1, 所以 AB1⊥BC. 又因为 A1B∩BC=B,A1B 平面 A1BC,BC 平面 A1BC, ? ? 所以 AB1⊥平面 A1BC. 因为 AB1 平面 ABB1A1, ? 所以平面 ABB1A1⊥平面 A1BC. 16.本小题主要考查同角三角函数关系、两角和(差)及二倍角的三角函数,考查运算求解能力.满分

14 分. 解:(1)因为

4 tan

3 ? ? , sin tan cos ? ? ? ? ,所以

4 sin cos

3 ? ? ? . 因为

2 2 sin cos

1 ? ? ? ? ,所以

2 9 cos

25 ? ? , 因此,

2 7 cos2 2cos

1 25 ? ? ? ? ? ? . (2)因为 , ? ? 为锐角,所以 (0,π) ? ? ? ? . 又因为

5 cos( )

5 ? ? ? ? ? ,所以

2 2

5 sin( )

1 cos ( )

5 ? ? ? ? ? ? ? ? ? , 因此 tan( )

2 ? ? ? ? ? . 因为

4 tan

3 ? ? ,所以

2 2tan

24 tan

2 1 tan

7 ? ? ? ? ? ? ? , 因此, tan

2 tan( )

2 tan( ) tan[2 ( )] 1+tan

2 tan( )

11 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? . 17.本小题主要考查三角函数的应用、用导数求最值等基础知识,考查直观想象和数学建模及运用数学知 识分析和解决实际问题的能力.满分

14 分. 解:(1)连结 PO 并延长交 MN 于H,则PH⊥MN,所以 OH=10. 过O作OE⊥BC 于E,则OE∥MN,所以∠COE=θ, 故OE=40cosθ,EC=40sinθ, 则矩形 ABCD 的面积为 2*40cosθ(40sinθ+10)=800(4sinθcosθ+cosθ) , CDP 的面积为 *2*40cosθ(40C40sinθ)=1600(cosθCsinθcosθ) .

1 2 过N作GN⊥MN,分别交圆弧和 OE 的延长线于 G 和K,则GK=KN=10. 令∠GOK=θ0,则sinθ0= ,θ0∈(0, ) .

1 4 π

6 当θ∈[θ0, )时,才能作出满足条件的矩形 ABCD, π

2 所以 sinθ 的取值范围是[ ,1) .

1 4 答:矩形 ABCD 的面积为 800(4sinθcosθ+cosθ)平方米,CDP 的面积为 1600(cosθCsinθcosθ) ,sinθ 的取值范围是[ ,1) .

1 4 (2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 4∶3, 设甲的单位面积的年产值为 4k,乙的单位面积的年产值为 3k(k>

0) , 则年总产值为 4k*800(4sinθcosθ+cosθ)+3k*1600(cosθCsinθcosθ) =8000k(sinθcosθ+cosθ) ,θ∈[θ0, ) . π

2 设f(θ)= sinθcosθ+cosθ,θ∈[θ0, ) , π

2 则.222()cos sin sin (2sin sin 1) (2sin 1)(sin 1) f ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ′ 令 ,得 θ= , ( )=0 f ? ′ π

6 当θ∈(θ0, )时, ,所以 f(θ)为增函数;

π

6 ( )>

0 f ? ′ 当θ∈( , )时, ,所以 f(θ)为减函数, π

6 π

2 ( )0,设.32()3hxxxax a ? ? ? ? 因为 ,且h(x)的图象是不间断的, (0)

0 (1)

1 3

2 0 h a h a a ? ? ? ? ? ? ? ? ? , 所以存在 ∈(0,1) ,使得 ,令 ,则 b>

0.

0 x

0 ( )

0 h x ?

0 3

0 0

2 e (1 ) x x b x ? ? 函数 ,

2 e ( ) ( ) x b f x x a g x x ? ? ? ? , 则.2e(1) ( )

2 ( ) x b x f x x g x x ? ? ? ? ′,′ 由f(x)=g(x)且f′(x)=g′(x) ,得 ,即 (**)

2 2 e e ( 1)

2 x x b x a x b x x x ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?

0 0

3 2

0 0

3 0

2 0

2 e e (1 )

2 e ( 1)

2 e (1 ) x x x x x x a x x x x x x x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 此时, 满足方程组(**) ,即 是函数 f(x)与g(x)在区间(0,1)内的一个 S 点 .

0 x

0 x 因此,对任意 a>

0,存在 b>

0,使函数 f(x)与g(x)在区间(0,+∞)内存在 S 点 . 20.本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识,考查代数推理、转化与化归及 综合运用数学知识探究与解决问题的能力.满分

16 分. 解:(1)由条件知:

1 1

2 ( , ) n n n a n d b ? ? ? ? . 因为 对n=1,2,3,4 均成立,

1 | | n n a b b ? ? 即112|()1|nnd????对n=1,2,3,4 均成立, 即1?1,1 ? d ? 3,3 ? 2d ? 5,7 ? 3d ? 9,得7532d??.因此,d 的取值范围为

7 5 [ , ]

3 2 .学@科网 (2)由条件知:

1 1

1 ( 1) , n n n a b n d b b q ? ? ? ? ? . 若存在 d,使得 (n=2,3,・・・,m+1)成立,

1 | | n n a b b ? ? 即1111|1|2,3, , (

1 ( ) ) n b n d b q b n m ? ? ? ? ? ? ? ? , 即当 2,3, ,

1 n m ? ? ? 时,d 满足

1 1

1 1

2 1

1 n n q q b d b n n ? ? ? ? ? ? ? . 因为 (1, 2] m q? ,则112nmqq????,从而

1 1

2 0

1 n q b n ? ? ? ? ,

1 1

0 1 n q b n ? ? ? ,对2,3, ,

1 n m ? ? ? 均成立. 因此,取d=0 时, 对2,3, ,

1 n m ? ? ? 均成立.

1 | | n n a b b ? ? 下面讨论数列

1 2 { }

1 n q n ? ? ? 的最大值和数列

1 { }

1 n q n ? ? 的最小值( 2,3, ,

1 n m ? ? ? ) . ①当2nm??时,

1 1

1 2

2 2

2 1

1 1 ( ) ( ) ( ) n n n n n n n n q q nq q nq n q q q n n n n n n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , 当112m q ? ? 时,有2nmqq??,从而

1 ( )

2 0 n n n n q q q ? ? ? ? ? . 因此,当21nm???时,数列

1 2 { }

1 n q n ? ? ? 单调递增, 故数列

1 2 { }

1 n q n ? ? ? 的最大值为

2 m q m ? . ②设()()21xfxx??,当 x>

0 时, ln

2 1 (

0 ( n ) l

2 2 ) x f x x ? ? ? ? ? , 所以 ( ) f x 单调递减,从而 ( ) f x ........