PDF《Homework2 答案》

Homework2 答案 1.

粒子一维势场中运动. ψn(x), ψm(x)是属于Em, En的束缚态本征函数. En = Em.证明它们正交, 即∞?∞ ψn(x)ψm(x)dx =

0 证: ψn(x), ψm(x)均满足定态Schr¨ odinger方程,即ψn(x) = 2m ? h2 [V (x) ? En]ψn(x) (1) ψm(x) = 2m ? h2 [V (x) ? Em]ψm(x) (2) 以ψm(x)左乘式(1),以ψn(x)左乘式(2), 再相减得 2m ? h2 (Em ? En)ψn(x)ψm(x) = ψm(x)ψn(x) ? ψn(x)ψm(x) = d dx (ψm(x)ψn(x) ? ψn(x)ψm(x)) 对全空间积分,得到(束缚态波函数在无穷远处必须趋于0) 2m ? h2 (Em ? En) ∞ ?∞ dx ψn(x)ψm(x) = ∞ ?∞ dx d dx (ψm(x)ψn(x) ? ψn(x)ψm(x)) = (ψm(x)ψn(x) ? ψn(x)ψm(x)) |∞ ?∞=

0 因此,当En = Em,就有 ∞ ?∞ ψn(x)ψm(x)dx =

0 2. 导出动量表象下, 坐标和动量算符. 解: 利用 ψ(x) =

1 (2π? h)3/2 d3 p?(p)e i ? h p・x (3) < x > = d3 xψ(x)xψ? (x)

1 = d3 xψ(x)x

1 (2π? h)3/2 d3 p?? (p)e ?i ? h p ・x = d3 xψ(x)

1 (2π? h)3/2 d3 p ?? (p)(i? h?p)e ?i ? h p・x (4) 先作对x 的积分, 利用(3)的你变换: < x > = d3 p?? (p)(i? h?p)?(p) 即? x = i? h?p, 同理可得? p = p. 3. 假设一个粒子的初始态是两个能量本征态(E2, E1)的叠加ψ(x, 0) = c1ψ1(x) + c2ψ2(x), 设c1, c2, ψ1, ψ2为实数. 计算t > 0时刻< x(t) >. 解: 易得Ψ(x, t) = c1ψ1(x)e? i ? h E1t + c2ψ2(x)e? i ? h E2t , 假设ψ1(x), ψ2(x)是归一化 波函数, 且c2

1 + c2

2 = 1, 即ψ(x, 0)也是归一化函数则 dx ψ(x, t)ψ? (x, t) = |c1|2 + |c2|2 = 1, 利用了ψ1, ψ2正交. < x(t) > = dx Ψ? (x, t)xΨ(x, t) (5) = dx [c1ψ1(x)e i ? h E1t + c2ψ2(x)e i ? h E2t ] ・ x ・ [c1ψ1(x)e? i ? h E1t + c2ψ2(x)e ?i ? h E2t ] = dx x[c2 1ψ2 1(x) + c2 2ψ2 2(x) + c1c2ψ1(x)ψ2(x)(e i ? h (E1?E2)t + e i ? h (E2?E1)t )] = dx x[c2 1ψ2 1(x) + c2 2ψ2 2(x) + 2c1c2ψ1(x)ψ2(x) cos( E2 ? E1 ? h t)] < x(t) > = c2

1 < x >1 +c2

2 < x >2 +2c1c2 < x >12 cos ωt 其中 < x >1 = dx xψ2 1(x) < x >2 = dx xψ2 2(x) < x >12 = dx xψ1(x)ψ2(x) ω = E2 ? E1 ? h 可以看到:粒子位置的期望值是周期振动.

2 4. Gri?ths书,习题1.15. 描述一个自发衰变粒子,其寿命为τ. P(t) = |ψ(x, t)|2 dx = e?t/τ 要得到这个几率衰减,可以设V (x) = V0(x) ? iΓ,其中V0是真实的势能.Γ是 正实数.证明: dP(t) dt = ? 2Γ ? h P(t) (6) 求出P(t),并给出以Γ表示的粒子寿命. 解:根据含时Schr¨ odinger方程,可知 i? h ? ?t ψ = Hψ = ( p2 2m + V0(x))ψ ? iΓψ ?i? h ? ?t ψ? = H? ψ? = ( p2 2m + V0(x))ψ? + iΓψ? 带入式(6)中得 dP(t) dt = d dt |ψ(x, t)|2 dx = d dt ψ? (x, t)ψ(x, t)dx =

1 i? h [?(Hψ? (x, t))ψ(x, t) + ψ(x, t)? Hψ(x, t)]dx =

1 i? h ψ? (x, t)(?i2Γ)ψ(x, t)dx = ? 2Γ ? h P(t) 上面推导利用了几率流散度的全空间积分为零. 直接求解dP (t) dt = ?2Γ ? h P(t)可得 P(t) = Ce? 2Γ ? h t (7) 其中C为常数,即得τ = ? h 2Γ . (Note: τ ・ Γ ≈ ? h

2 实际上给出了吸收势与粒子寿命的不确定度关系.这里Γ可以 理解吸收或排斥一个粒子所需的势能) 5. 计算d dt . 解: d < ? p > dt = d dt dxψ? (x, t)? pψ(x, t)

3 = dx[( ? ?t ψ(x, t))? ? pψ(x, t) + ψ? (x, t) ?? p ?t ψ(x, t) + ψ? (x, t)? p( ? ?t ψ(t))] =

1 i? h dx [?(? p2 /2m + V )ψ? ? pψ + ψ? ? p(? p2 /2m + V )ψ] (8) 利用了p不显含时间,即?p ?t = 0. 对ψ(x, t)的时间全导数,由于我们不'追踪' 粒子,所以直接写成偏导数. 在可归一化条件下,波函数在无穷远处为零, 利用分部积分 (? p2 ψ)? ψdx = ψ? ? p2 ψdx (9) 注意? p 向右作用,分成对V 求导和对ψ求导,我们有: d < ? p > dt =

1 i? h dx ψ? (? pV ? V ? p)ψ =