PDF《高温作业专用服装设计》

7 18) 式(18)等式右边项含有 ,当 取为无限小时,此项是个无限小量,可以 略去,那么式(18)就变为 19) 此微分方程即为空气层Ⅳ与皮肤接触界面的温度随时间空间变化的偏微分形 式,其边界条件为 20) 理论上, 根据上述讨论得到的微分方程 (13) (15) (16) (19) 以及边界条件, 可以联立求解出 的解析解,但是求解的过程很复杂,小组所具备的硬件设 施无法满足如此复杂的计算要求,故只能退而求其次,求解该模型的数值解.差 分法将时空划分为一个个的结点,通过递推迭代依次求算每个结点处的温度,当 将时间和空间的间隔划分的足够小时,求解结果就可以逼近真实的结果,此方法 简单且运算量也不是很大,很适合此模型的求解. 5.3 差分法建立模型与求解 差分法建立模型的过程与 1.2.1 中微分方程的建立过程是相似的,只不过将 无限小的距离微元 变为有限小的离散距离结点 , 将无限小的时间微元 变 为有限小的离散时间结点 ,同时为了使方程看起来更加简洁,用 来表示 时 处的温度,那么式(7) (8) (9) (10)就分别变为 21) 22) 23) 24) 当时间 足够小时,式(24)又可以等价为 25) (24) (25)分别与(21)-(23)联立之后可得 ………………(26) ………………(27) 式(26)进一步整理可以得到

8 ………………(28) 式(28)称为显式差分公式,又称为前差分公式,因为它是在 时刻展开 的, 即利用前时刻的该位置和左右相邻位置共三个位置的温度来表示后时刻该位 置的温度;

式(27)称为隐式差分公式,又称为后差分公式,因为它是在 -1 时刻展开的, 即利用前时刻的该位置的温度来表示后时刻该位置和左右相邻位置 共三个位置的温度. 显式差分公式的求解过程实际上是一个按照时间空间递推迭代的过程,然而 在该问题中,如果用递推来求解,由于在空间方向上的递推终点,即假人皮肤接 触层处,会有一个散热的过程,而显式差分公式中 处一个结点温度的求解 只与前后 和 两个结点处的温度有关系,那么在时间方向的最初 几次递推中 (具体来讲与空间方向结点数目相等)空间方向的第一个结点是受不 到散热过程的影响的,这显然与实际是不符的,这样导致的结果就是 的解 在和比较小时是非常不准确的,在求解过程中甚至出现了服装外表面温度的 解大于 75℃、皮肤温度小于零的情况. 隐式差分公式是通过将同时刻的一系列结点的方程联立成一组线性方程组来 求算出该时刻每个结点处的温度的,之后将时间推移,对每个时刻的一系列结点 进行求算, 即可得到所有时空结点温度的数值解,其优点是从时间一开始产生的 解就是稳定的,不会出现反常的情况. 两种差分法各有优劣, 显式差分公式相比隐式差分公式运算过程要简单许多, 可以减少算法的运行时间, 但是显式差分公式的解在初始时是不稳定的,而隐式 差分公式的解却是无条件稳定的,不存在稳定性问题.[2] 在本模型中,我们采用 了更注重稳定性的隐式差分公式,即式(27) . 在应用差分法时,首先要考虑的即为结点的划分问题,划分的结点数越多得 到的数值解肯定会更加接近解析解,但是运算时间会增加,因此要在二者之间取 一个平衡.此外,由于从外界向皮肤的热传导过程总共经过了四种介质,对空间 结点的划分应该使结点内部只包含一种介质.在本模型中,我们按照 的 时间步长将时间划分为 90*60/0.1=54000 份, 的空间步长将空间划分 为(0.6+6+3.6+5)/0.1=152 份,共54000*152 个时空结点. 在对 时的一系列(152 个)结点列线性方程组时,用到 时各结点 的温度值,即初始温度 29) 对于每一个时刻,求解对应的线性方程组要用到外界的恒定温度 30) 对应于 1.2 中讨论的三种情况,式(27)在不同位置也会有不同的形式 由外到内第 层材料内部的结点 ……………(31)