PDF《牛顿螺旋管道内幂律流体流动数值模拟_牛顿》

1 正交螺旋坐标系下幂律流体流动控 制方程组的建立 螺旋管道示意图和螺旋坐标系如图

1 和图

2 所示,曲率 k 和挠度τ计算公式分别如下 : k = c( b

2 + c

2 ) -

1 τ = b( b

2 + c

2 ) -

1 (1) 式中 b 为常数;

a 为螺旋管半径;

c 为螺旋管中心线 曲率半径. 为了得到形式简单、 便于求解的控制方程组 ,引入 SerretO Frenet 标架 ,将斜交坐标系正交化[3 ] . 假设幂律流体在无限长、 等径圆截面、 常数曲率和

94 石油学报2005 年第26 卷图1螺旋管道示意图 Fig .

1 Chart of a helical pipe 图2正交螺旋坐标系 Fig .

2 Orthogonal and helical coordinate system 挠度的圆柱螺旋管中做定常、 充分发展的等温层流流 动 ,并忽略进出口的影响 ,得到幂律流体在螺旋管道内 流动无因次化后的控制方程组如下 : 连续方程为 u r + 5u 5r +

1 r 5v

5 θ - α M 5w

5 θ + ε sin θ M u + ε cos θ M v =

0 (2) 式中 u 为径向速度 ,无因次;

v 为切向速度 ,无因次;

w 为轴向速度 ,无因次;

ε为无因次曲率;

α为无因次挠 率;

M =

1 + ε rsin θ . 运动方程为 u 5u 5r + v r - αw M 5u

5 θ - v

2 r - ε sin θ M w

2 = -

5 p 5r +

5 τ rr 5r +

1 r

5 τ θr

5 θ - α M

5 τ s r

5 θ + τ rr - τ θ θ r + ε cos θ M τ θr + ε sin θ M (τ rr - τ ss ) (3) u 5v 5r + v r - α w M 5v

5 θ + uv r - ε cos θ M w

2 = -

1 r

5 p

5 θ +

5 τ r θ 5r +

1 r

5 τ θ θ

5 θ - τ M

5 τ s θ

5 θ +

2 r + ε sin θ M τr θ + ε cos θ M (τ θ θ - τ ss ) (4) u

5 w 5r + v r - α w M 5w

5 θ + ε sin θ M uw + ε cos θ M vw = -

1 M

5 p 5s +

5 τ rs 5r +

1 r

5 τ θ s

5 θ - α M

5 τ ss

5 θ +

1 r +

2 ε sin θ M τrs +

2 ε cos θ M τ θ s (5) 式中 τ为剪切应力. 流变方程为 τ r r =

2 η( Ⅱ ) 5u 5r (6) τ r θ = τ θr = η( Ⅱ )

1 r 5u

5 θ + 5v θr - v r (7) τ rs = τ s r = η( Ⅱ )

1 M - τ5u 5θ + M 5w 5r - wk sin θ (8) τ θ θ =

2 η( Ⅱ )

1 r 5v 5θ + u r (9) τ θ s = τ s θ = η( Ⅱ )

1 M - τ5v 5θ + M r 5w

5 θ - wkcos θ (10) τ ss =

2 η( Ⅱ )

1 M - τ5w 5θ + uk sin θ+ vkcos θ (11) 式中 η( Ⅱ) 为幂律流体的视粘度 , 无因次;

Ⅱ =

1 2 trA

2 1 , A1 是一阶 RivlinOEricksen 张量[4 ] .

2 幂律流体在螺旋管道内流动的数值解 由于采用有限容积法导出的离散方程可以保证具 有守恒性 ,对区域形状的适应性也好于有限差分法 ,因 而采用有限容积法研究幂律流体在螺旋管道内流动的 数值解. 运动方程可统一表述为 5rJ r 5r + 5Jθ

5 θ = rJ (12) 其中 J r = u< - u< 5r Jθ = v < -

1 r 5<

5 θ 式中