PDF《100 个著名初等数学问题》

100 个著名初等数学问题 ――历史和解

100 Great Problems of Elementary Mathematics: Their History and Solution [德]H・德里 Heinrich D?rrie 目录 i 目录 算术题

1 第1题阿基米德分牛问题.

1 第2题德・梅齐里亚克的砝码问题.3 第3题牛顿的草地与母牛问题.4 第4题贝韦克的七个

7 的问题.5 第5题柯克曼的女学生问题.8 第6题柏努利―欧拉关于装错信封的问题.10 第7题欧拉关于多边形剖分问题.12 第8题鲁卡斯的配偶夫妇问题.15 第9题卡亚姆的二项展开式.19 第10 题 柯西的平均值定理.21 第11 题 柏努利幂之和的问题.23 第12 题 欧拉数.26 第13 题 牛顿指数级数.29 第14 题 麦凯特尔对数级数.35 第15 题 牛顿正弦及余弦级数.38 第16 题 正割与正切级数的安德烈推导法.41 第17 题 格雷戈里的反正切级数.44 第18 题 德布封的针问题.47 第19 题 费马―欧拉素数定理.50 第20 题 费马方程.56 第21 题 费马―高斯不可能性定理.63 第22 题 二次互反率.68 第23 题 高斯的代数基本定理.72 第24 题 斯图谟的根的个数问题.74 第25 题 阿贝尔不可能性定理.76 第26 题 赫米特―林德曼超越性定理.83 平面几何题

90 第27 题 欧拉直线.90 第28 题 费尔巴哈圆.91 第29 题 卡斯蒂朗问题.92 第30 题 马尔法蒂问题.93 第31 题 蒙日问题.96 第32 题 阿波洛尼斯相切问题.97 第33 题 马索若尼圆规问题.100 第34 题 斯坦纳直尺问题.102 第35 题 德里安倍立方问题.105 第36 题 三等分一个角.106 第37 题 正十七边形.109 第38 题 阿基米德π 值确定法

114 第39 题 富斯弦切四边形问题.116 第40 题 测量附题.118 目录 ii 第41 题 阿尔哈森弹子问题.121 圆锥曲线和摆线题

124 第42 题 由共轭半径作椭圆.124 第43 题 在平行四边形内作椭圆.125 第44 题 由四条切线作抛物线.126 第45 题 由四点作抛物线.127 第46 题 由四点作双曲线.130 第47 题范・施古登轨迹题.130 第48 题 卡丹旋轮问题.132 第49 题 牛顿椭圆问题.132 第50 题 彭赛列―布里昂匈双曲线问题.133 第51 题 作为包络的抛物线.134 第52 题 星形线.135 第53 题 斯坦纳的三点内摆线.138 第54 题 一个四边形的最接近圆的外接椭圆.140 第55 题 圆锥曲线的曲率.143 第56 题 阿基米德对抛物线面积的推算.145 第57 题 推算双曲线的面积.147 第58 题 求抛物线的长.149 第59 题 笛沙格同调定理(同调三角形定理)151 第60 题 斯坦纳的二重元素作图法.154 第61 题 帕斯卡六边形定理.155 第62 题 布里昂匈六线形定理.157 第63 题 笛沙格对合定理.159 第64 题 由五个元素得到圆锥曲线.163 第65 题 一条圆锥曲线和一条直线.165 第66 题 一条圆锥曲线和一定点.165 立体几何题

167 第67 题 斯坦纳的用平面分割空间.167 第68 题 欧拉四面体问题.168 第69 题 偏斜线之间的最短距离.171 第70 题 四面体的外接球.173 第71 题 五种正则体.175 第72 题 正方形作为四边形的一个映像.178 第73 题 波尔凯―许瓦尔兹定理.180 第74 题 高斯轴测法基本定理.182 第75 题 希帕查斯球极平面投影.183 第76 题 麦卡托投影.185 航海与天文学题

187 第77 题 航海斜驶线问题.187 第78 题 海上船位置的确定.188 第79 题 高斯双高度问题.189 第80 题 高斯三高度问题.191 第81 题 刻卜勒方程.192 目录 iii 第82 题 星落.195 第83 题 日晷问题.196 第84 题 日影曲线.197 第85 题 日食和月食.199 第86 题 恒星及会合运转周期.202 第87 题 行星的顺向和逆向运动.203 第88 题 兰伯特彗星问题.205 极值

208 第89 题 与欧拉数有关的斯坦纳问题.208 第90 题 法格乃诺关于高的基点问题.208 第91 题 费马对托里拆利提出的问题.209 第92 题 逆风变换航向.210 第93 题 蜂巢(雷阿乌姆尔问题)212 第94 题 雷奇奥莫塔努斯的极大值问题.213 第95 题 金星的最大亮度.215 第96 题 地球轨道内的彗星.216 第97 题 最短晨昏蒙影问题.217 第98 题 斯坦纳椭圆问题.219 第99 题 斯坦纳的圆问题.221 第100 题 斯坦纳的球问题.223 算术题

1 算术题 第1题 阿基米德分牛问题 太阳神有一牛群,由白、黑、花、棕四种颜色的公、母牛组成. 在公牛中,白牛数多于棕牛数,多出之数相当于黑牛数的

3 1

2 1 + ;

黑牛数多于棕牛数, 多出之数相当于花牛数的

5 1

4 1 + ;

花牛数多于棕牛数,多出之数相当于白牛数的

7 1

6 1 + . 在母牛中,白牛数是全体黑牛数的

4 1

3 1 + ;

黑牛数是全体花牛数的

5 1

4 1 + ;

花牛数是全 体棕牛数的

6 1

5 1 + ;

棕牛数是全体白牛数的

7 1

6 1 + . 问这牛群是怎样组成的? 解:如果用字母 X、Y、Z、T 分别表示白、黑、花、棕各色的公牛数;

用x、y、z、t 分别表示白、黑、花、棕各色母牛数,则得

8 个未知数的如下

7 个方程: (1) Y T X

6 5 = ? , (2) Z T Y

20 9 = ? , (3) X T Z

42 13 = ? , (4) ) (

12 7 y Y x + = , (5) ) (

20 9 z Z y + = , (6) ) (

30 11 t T z + = , (7) ) (

42 13 x X t + = . 由方程(1) , (2) , (3) ,得6X C 5Y = 6T,20Y C 9Z = 20T,42Z C 13X = 42T.以这三个方程 解未知数 X,Y,Z,得: T X

297 742 = , T Y

99 178 = , T Z

891 1580 = . 因为

891 和1580 没有公因子,T 必定是

891 的某一整倍数――假设为 G 倍,因此得 (I) X = 2226G,Y = 1602G,Z = 1580G,T = 891G. 若将这些值代入方程(4) , (5) 、 (6) 、 (7) ,得下列方程: 12x C 7y = 11214G,20y C 9z = 14220G,30z C 11t = 9801G,42t C 13x = 28938G. 解这些方程的四个未知数 x,y、z、t,得(II) cx = 720630G,cy = 4893246G,cz = 3515820G,ct = 549213G. 其中,c 是素数 4657.因为在各式右边 G 的系数中没有一个可以被 c 整除,所以 G 必定是 算术题

2 c 的整数倍. G = cg. 如果把这个 G 代入(I)和(II) ,最后可得到下列各关系式: (I′) X = 10366482g,Y = 7460514g,Z = 7358060g,T = 4149387g, (II′) x = 7206360g,y = 4893246g,z = 3515820g,t = 5439213g. 这里 g 可以是任何正整数. 所以,本题具有无数组解.若指定 g 值为 1,则得下列最小数值的解: 白公牛:10,366,482;

白母牛:7,206,360;

黑公牛: 7,460,514;

黑母牛:4,893,246;

花公牛: 7,358,060;

花母牛:3,515,820;

棕公牛: 4,149,387;

棕母牛:5,439,213. 史料:如上面解答所示,至少依据目前的概念,分牛问题确切地说不能被认为是个很难 的问题.然而,由于在古代常常把一道难解的题叫做分牛问题或者阿基米德题,特别考虑到 阿基米德(Archimedes)的其它辉煌成就,以及他把这个分牛之题献给古代希腊后期亚历山 大城的天文学家厄拉多塞尼(Eratosehenes)的这一事实,可以设想以上所述及的问题的方 式并不代表阿基米德问题完整和原始的形式. G・E・莱辛 (Gotthold Ephraim Lessing)于1773 年在沃尔芬比特尔图书馆发现一本希腊文 手抄本,其中就有一篇关于该题 更完整 的阐述.该题由

22 句对偶句组成 (或称为韵文) , 以诗歌形式出现: 朋友,请准确无误地数一数太阳神的牛群.要数得十分仔细,如果你自认为还有几分 聪明: 多少头牛在西西里岛草地上吃过草, 它们分为四群, 在那里来往踱步. 各群颜色不同: 第一群像牛乳那样洁白, 第二群闪耀着深乌木般的光泽, 第三群毛色棕黄, 第四群满身斑斓, 每群中公牛数总大大超过母牛.现在,告诉你这些牛群间的比例:白牛数等于棕牛数再加上 黑牛数的三分之一和二分之一.此外,黑牛数为花牛数的四分之一加五分之一,再加上全部 棕牛. 朋友, 最后你必须记住, 花牛数是白牛数的六分之一加七分之一再加........