PDF《美妙的几何魔法》

orld of Mathematics 数学烟云 W 数学文化/第6卷第3期48 古希腊柏拉图学院的门上有一句名言 :不懂几何者不得入内.

不但自古以来几何 就有着独特的地位,而且几何的美是浑然天成的,不管是随风飘动的枝条还是静谧安 然的山峦,不管是天空中流动的白云,还是海洋中漾起的波澜,都可以归宿于形象的 几何. 于是,人们常常津津乐道于构造出新的几何图形,把几何的构造当成一种使命, 也作为一种乐趣,亦或是与大自然亲密耳语的一种姿态. 近年来,除了传统的几何图形之外,两种新的几何图形的构造引起数学家们的兴 趣.一种是 Lee Sallows 创造的平面几何图形 golygon1 , 因A. K. Dewdney

1990 年在 《科 学美国人》 (Scientific American)专栏上的普及广为人知

2 .另一种是 Joseph O'

Rourke 新近创造的立体几何图形 golyhedron3 . 它们的奇妙在哪里呢?简洁地讲,就是顶角都是直角,且边长或表面积成某种数 列的多边形或多面体.目前国内还未见有它们的中文译名,我们姑且取其谐音,把它 们称为高立多边形与高立多面体.下面就请跟随我们一起来欣赏它们的奇思特想和构 造之美吧. 1. 高立多边形 我们不妨先从较为简单的(自然)高立多边形谈起.一个(自然)高立多边形相 当于一个格多边形(lattice polygon) ,它的各个角都是直角,不能自相交,也不能走回 头路,且边长必须是连续的整数 {1, 2, 3, …, n}.按照这个定义,我们所知的最简单的 王淑红 蒋迅美妙的几何魔法 ――高立多边形与高立多面体

1 Wikipedia, http://en.wikipedia.org/wiki/Golygon 和Wolfram, Golygon, http://mathworld.wolfram. com/Golygon.html.

2 Dudeney, A. K. An Odd Journey Along Even Roads Leads to Home in Golygon City. Sci. Amer. 263, 118-121, July 1990.

3 P. Goucher, Golygons and golyhedra, http://cp4space.wordpress.com/2014/04/30/golygons-and- golyhedra 和P. Goucher, Golyhedron update,http://cp4space.wordpress.com/2014/05/11/golyhedron- update. orld of Mathematics 数学烟云 W 数学文化/第6卷第3期49 高立多边形就是下面这个有点像手枪的

8 边形(octagon) : 为了方便后面的讨论,我们把这个多边形用 {1N 2E 3S 4W 5S 6W 7N 8E} 来表示, 其中的英文字母 E、S、W、N 分别代表东、南、西、北4个走向. 注意,边长是按照顺时针 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} 的次序排列的.有意思的是,当我 们把它平铺在平面上, 然后把另一个相同的

8 边形旋转 180° , 它们能够完全嵌合在一起. 如果有多个这种

8 边形,那么它们的嵌合具有周期性的规律,最终可以形成一个相互 嵌合的平面,如下图所示 : 大家对这幅图是否有些眼熟呢?是不是很像婴幼儿喜欢玩儿的拼图游戏呢?不知 道市场上是否有了这种图案的拼图,如果还没有的话,生产商就有新的拼图方案了, 消费者也会有新的选择. 这是题外,下面我们接着来谈高立多边形.显然,对于所有的自然数 n,不是都 能作出一个高立多边形.以n=4为例.我们不妨假定第

1 步是向上走,那么第

2 步 就必须是向左或向右.我们假定它是向左.这时第

3 步必须向上或向下.如下图所示, 无论向上还是向下,我们看到第

4 条线都无法回到初始点.

7 6

4 3

8 2

5 1 orld of Mathematics 数学烟云 W 数学文化/第6卷第3期50 事实上,我们前面构造出的高立多边形是最简单的一个.我们自然会问,在什么 条件下我们可以得到一个高立多边形呢?更一般地,在什么条件下至少存在一个高立 多边形呢?首先,n 必须是偶数,因为这些折线必须在横向和纵向上交替进行.一个必 要条件是,它的边长数(偶数)n 必须是下面方程组的解 : ±

1 ±

3 ±

5 ± … ± (n - 1) = 0, ±

2 ±

4 ±

6 ± … ± n = 0. 这是因为第

1、

3、

5、…条边都同时是横向或同时是纵向 ;

第

2、

4、

6、…条边都 同时是纵向或同时是横向,而它们都必须回到原点.注意这里方程中的未知变量是加 减号 ±.在上面 n =

4 的例子中,这组方程变成了 ±

1 ±

3 = 0, ±

2 ±

4 = 0. 显然,无论我们如何选择加号或减号,都不能使它们成立.同理,n =

6 时它们也不可 能成立.注意这个条件不是充分的, 因为它包含了自相交和回头路的情况.如果禁止自相交, 问题会更困难,因为我们还需要计算一个有特殊性质的自回避行走(self-avoiding walks) . 美国著名数学科普作家加德纳(Martin Gardner)给出了另一个必要条件 :偶数 n 必须具有 n = 8k 的形式, 其中 k 是一个自然数.为什么呢?我们已经知道, n 必为偶数, 还应注意到

2 +

4 +

6 +…+ n 应为

4 的倍数,以便能够将它划分为两个偶数组的和. 这是因为其中第一组偶数代表着向一个方向行走的方向,另一组偶数代表着向相反方向 行走的方向.在上面 n =

8 的例子中,2 和8在一组里,4 和6则在另一组里.下一步, 我们通过偶数项的和来说明 n 必须被

8 整除或者余数为 6.据等差数列求和公式,可知

2 +

4 +

6 +…+ n = (n/2)(n/2+1).注意,前面已经说过

2 +

4 +

6 + …+ n 能被

4 整除, 因此 n/2 ≡

0 (mod 4) 或(n/2+1) ≡

0 (mod 4), 即n/2 ≡

0 (mod 4) 或n/2 ≡

3 (mod 4), 这意味着 n ≡

0 (mod 8) 或n≡6(mod 8).再来看奇数项的和

1 +

3 +

5 + …+ (n - 1) , 它应为偶数,以便能够将它划分为两个奇数组的和.据等差数列求和公式,可知

1 +

3 +

5 +…+ (n - 1) = (n/2)(n/2),因此 n/2 ≡

0 (mod 2),即n≡0(mod 4),这意味着 n ≡

0 (mod 8) 或n≡4(mod 8).综合以上结果,可知 n ≡

0 (mod 8),即n=8k. 显然,只要存在一个高立多边形,就至少存在

4 个,因为第

1 条边按东南西北

4 个方向出发就产生出

4 个高立多边形.它们是全等的.但是为了讨论方便,让我们暂 时把它们算作

4 个不同的高立多边形.我们现在给出 n 边高立多边形的个数(记住,n 是8的倍数) .记下面两个多项式 : p1(x) = (xi i=1, 3, … n?1 ∏ +1) = (x +1)(x3 +1)?(xn?1 +1), p2 (x) = (xi i=1 n/2 ∏ +1) = (x +1)(x2 +1)?(xn/2 +1).

1 2

3 3

2 1 orld of Mathematics 数学烟云 W 数学文化/第6卷第3期51 记p1(x) 的展开式中 xn2 /8 的系数为 k1,p2(x) 的展开式中 xn(n/2+1)/8 的系数为 k2.那么 n 边 高立多边形的个数为 k1*k2(其中 n = 8k).利用这个结果,我们可以得到下面的表格: k n 边高立多边形的个数 N N/4

1 4

1 2

112 28

3 8432

2108 4

909228 227322

5 121106960

30276740 6

18167084064 4541771016

7 2956370702688

739092675672 8

510696155882492 127674038970623 这个结果是 Sloane 得到的.1991 年,Sallows 和Vardi 等人得到了一个渐近公式

4 : N(n) ? 3?28n?4 πn2 (4n +1) . 这是一条呈指数增长的曲线.注意这里居然出现了 π.回到 n =

8 的例子,我们有, p1(x) = (x + 1)(x3 + 1)(x5 + 1)(x7 + 1) = x16 + x15 + x13 + x12 + x11 + x10 + x9 + 2x8 + x7 + x6 + x5 + x4 + x3 + x + 1, p2(x) = (x + 1)(x2 + 1)(x3 + 1)(x4 + 1) = x10 + x9 + x8 +

2 x7 + 2x6 + 2x5 + 2x4 + 2x3 + x2 + x + 1. 我们分别取 p1(x) 中x8 的系数 k1 =

2 和p2(x) 中x5 的系数 k2 = 2,得到

8 边高立多边 形的个数为 4.因为这

4 个高立多边形是全等的,我们得出结论 :

8 边高立多边形在全 等的意义下只有一个. 再看n=16的时候. 我们知道, 应该有28个不全等的高立多边形. 下面是其中3个例子:

4 Sallows, L.;

Gardner, M.;

Guy, R. K.;

and Knuth, D. Serial Isogons of

90 Degrees. Math Mag. 64, 315-324,

1991 和Vardi, I. American Science. §5.3 in Computational Recreations in Mathematica. Redwood City, CA: Addison-Wesley, pp. 90-96, 1991.

5 Mauro Fiorentini, Goligoni (numero di), http://www.bitman.name/math/article/628. n =

16 时的高立多边形(来源 : Mauro Fiorentini)5

16 14

13 10

9 1

2 8

7 3

4 5

6 15

11 12

12 13

11 10

15 16

14 10

11 12

13 14

15 16

1 1

2 3

2 3

7 4

5 6

9 8

9 8

7 4

5 6 orld of Mathematics 数学烟云 W 数学文化/第6卷第3期52 Sallows 等人已经找到了全部

28 个.对于 n =

32 的情形,我们只给一个例子 : n =

32 时的高立多边形(来源 : fdecomite) 高立多边形的边可以不是以自然数为序.如果一个高立多边形的边长为奇素数的 话,我们称之为素数高立多边形.这也是《科学美国人》里就已提到的.如果允许以

1 开始,我们可以得到下面的高立多边形 {1N 3E 5N 7W 11N 13W 17N 19E 23N 29W 31N 37E 41S 43E 47S 53W}6 : 注意,从第

2 位的

3 到第

16 位的

53 是连续素数.可以验证,{1N 3E 5S 7W 11S 13W 17N 19E 23N 29W 31S 37E 41S 43E 47N 53W} 也可以构成一个高立多边 形.不过,这两个例子都有一个缺点 : 它们都以

1 开始,因而不是真正的素数 高立多边形.右面是一个不以

1 开始的 真正的素数高立多边形{29N 31E 41S 43W 59S 61W 71N 73E} : (几乎)素数高立多边形 真正的素数高立多边形

6 Harry J. Smith, Golygon Letter to Mr. A. K. Dewdney, http://www.reocities.com/hjsmithh/Golygons/ GolygonL.html.

31 41

43 59

29 73

71 61

37 31

47 53

5 7

29 23

19 17

18 11

3 1

41 43 ........