PDF《) / L ,沿梁截面高度的分布图见详细解答。》

1 第八届全国周培源大学生力学竞赛试题参考答案

一、看似简单的小试验(30 分) (1)小球

1 P 不可能直接击中 A 点,证明见详细解答.

(2)小球

2 P 与圆盘开始分离时的角度 arcsin(

3 1)

47 ? = ? ≈ °. (3)碰撞结束后瞬时小球

3 P 与半圆盘的动能之比为 5:4.

二、组合变形的圆柱体(20 分) (1)

3 1

32 π T s M D = τ . (2)在柱 B 端同时施加

3 σ τ = s 的轴向拉伸应力不产生屈服. (3)圆柱体的体积改变量 ( )

2 1

4 π

1 2 / V D L E = ? Δ σ ν .

三、顶部增强的悬臂梁(30 分) (1)组合截面中性轴的位置:

1 0.592 C y h = ;

(形心为

0 C z = ,

1 0.592 C y h = ) . (2)使梁 B 端下表面刚好接触C 台面所需的竖向力为

3 3

1 1 0.4 / P F E bh L = Δ . (3)不使增强材料层下表面与梁上表面相对滑动的剪力为 top

2 2 Q

1 1 0.28 / F E bh L = Δ . (4)梁的剪应力为 ( )

2 2

3 3

1 2 / C E y y L = Δ ? τ ,沿梁截面高度的分布图见详细解答.

四、令人惊讶的魔术师(20 分) (1)力学原理:沿不同方向推动木条时,需要的推力大小不同,木条运动的方式也不同:沿AB 推,推力

1 F 最大,木条平动;

垂直 AB 在不同位置推动木条,木条绕不同的点转动, 且推力

2 F 的大小、转动位置均与推力位置有关. (

2 ) 根据滚动小球的号码信息,推力位置位于[],1num num + 号小球之间,且22max max

2 4

2 n Q num n Q ? = ? 取整. (注意 , 1,

1 Q N or N or N = ? + 均算正确) . (3)设21/FFη=,[0, 0.414) η ∈ 不可能出现.当[0.414, 0.828) η ∈ 时,观众如果故意把

2 F 错报为

1 2

2 F ,一定会被魔术师发现.若[0.828, 1] η ∈ 时,观众故意报错不会被发现.

五、对称破缺的太极图(20 分) (1) '

'

x z x z I I I I = = = 成立,见详细解答. (2)在,0xrz=?=处粘上质量为

1 4 m 的配重,图形就可以在空中绕 Z 轴稳定地转动.

2 详细解答及评分标准 总体原则: (1) 计算题的某一小问,只要最后结果正确且有适当的步骤,就给全分. (2) 如结果不正确,则参考具体的评分标准. (3) 如结果不正确且方法与参考答案不一样,各地自行统一酌情给分. (4) 证明题需要看过程.

一、看似简单的小试验(30 分) 【解】 : (1)小球出手后开始作抛物线运动,可以证明,在题目所给条件下,小球击中 A 点之 前,一定会和圆盘边缘上其它点碰撞,即小球不可能直接击中 A 点. 证明:如果想求出抛物线与圆的交点表达式,会很复杂.下面采用很简单的方法. 圆盘的边界轨迹为

2 2

2 x y r + = ,在A点右边的 x r x = ? + Δ 处(设xΔ为一阶小量) ,圆 盘的高度为

2 2

2 1 ( ) r x y r ? + Δ + = ,

2 2

1 2 y r x x = Δ ? Δ ,略去高阶小量,即0.5

1 y x Δ ? ;

小球的抛物线轨迹方程一定可以写为

2 ( ) y a x b c = ? ? + 的形式(a、b、c 与初始条件有 关且均为正值) .在xrx=?+Δ处,抛物线的高为

2 2 ( ) y a r x b c = ? ? + Δ ? + .假设抛物线过 A 点, 则有

2 0 ( ) a r b c 因此有

2 2

2 ( ) y a r b x a x = + Δ ? Δ , 略去高阶小量, 即2yxΔ?.即在 A 点之前( x r x = ? + Δ 处) ,抛物线的高度是

1 阶小量,而圆盘的高是 0.5 阶小量, 所以圆盘比抛物线高.因此小球在击中 A 点前一定会先与圆盘上某点发生碰撞,不可能直接 击中 A 点. (2)建立惯性坐标系与初始时刻的Oxy 重合. 可以用不同的方法求解.系统水平方向动量守恒 ( sin )

0 mx m x r? ? + ? = (1-1) 结论

3 分证明方法不限. 结论错误,0分;

结论正确且能 够证明,3 分;

结论正确但证 明不完善,1分.

1 分3系统机械能守恒

2 2

2 2

1 1

2 2 (

2 sin ) sin mx m x xr r mgr mgr ? ? ? ? 1-2) 拆开系统,对小球由水平方向质心运动定理 cos mx N ? = ? (1-3) 由(1-1)和(1-2)得到

1 2 sin x r? ? = ? ,

2 2 4(1 sin ) (2 sin ) g r ? ? ? ? = ? (1-4) 对(1-4)中的速度和角速度求导有

2 1

1 2

2 sin cos x r r ? ? ? ? = ? ? ,

2 2

2 2cos (2 sin 2sin ) (2 sin ) g r ? ? ? ? ? + ? = ? ? (1-5) 把(1-5)代入(1-3)有()()3224sin 6sin

2 sin mg N ? ? ? + ? = ? (1-6) 下面求小球正好脱离圆盘的位置,即求

3 4 sin 6sin

0 ? ? + ? = 的解.设sin x ? = ,

3 6

4 y x x = ? + .一般情况下三次方程的解不好求,但是本题比较好求.把x=-3,-2,- 1,0,1,2,3 代入,可以看出 x 在(-3,-2)之间、 (0,1)之间以及 x=2 处有三个解(见 下图) . 根据三角函数的特点, (0,1)之间的解有意义.注意到 x=2 是一个解,所以设

3 2

6 4 ( 2)( 2) x x x x x ζ 容易求出

2 ζ = ,问题变为求

2 2

2 0 x x + ? = 在(0,1) 之间的解, 为31x=?,因此 arcsin(

3 1)

47 ? = ? ≈ °时, 小球与圆盘压力为零, 正好分离. (3)为了求出碰撞后的速度,可以用不同的方法.以碰撞点处的法向 n 和切向τ为坐标 轴构成 '

'

x y . 得到速度或角 速度,1 分 得到加速度或 角加速度,2分得到压力与角 度的正确表达 式,3 分 得到角度的正 确表达式,3分1分1分4碰撞前小球的绝对速度在 '

'

x y 坐标系中为 T '

'

0 0 ( sin , cos ) x y v v v ? ? ? = ? ? . 设碰撞后小球 的绝对速度为 T ( , ) n x y x y x y v v v τ + + + = . 碰撞时以小球为研究对象,由于圆盘光滑,小球切向速度不变有 '

'

0 cos x y v v τ ? + = ? (1-7) 法向速度满足恢复系数关系,设圆盘以速度u后退运动,在'

'

xy坐标系中为()T'

'

cos , sin x y u u u ? ? + = ? .根据碰撞定义,有'

'

0cos sin n x y v u e v ? ? + + = (1-8) 同时根据系统水平动量守恒,有'

'

'

'

cos sin n x y x y u v v τ ? ? + + = ? (1-9) 联立(1-7) , (1-8) , (1-9) ,解出

2 0 '

'

2 sin ( cos )

1 cos n x y v e v ? ? ? + ? = + ,

0 2 (1 )sin cos

1 cos v e u ? ? ? + = + (1-10) 小球的动能:

2 2

1 1

1 '

'

'

'

2 2 n x y x y T m v m v τ + + = + ,半圆盘的动能:

2 1

2 2 T mu = 代入

1 e = 和45 ? = ° ,所以碰撞后瞬时小球的动能与半圆盘的动能之比为

1 2 : 5:

4 T T = (1-11)

二、组合变形的圆柱体(20 分) 【解】 : (1)在扭矩作用下,圆柱外表面产生最大剪应力,其值为 50%是剪切屈服应力.由扭 转内力和应力公式计算得到

3 2

16 s T T P M M D W = = = τ τ π

3 32 T s D M = π τ (2-1) (2)在圆柱外表面有最大应力,在剪切和轴向拉伸作用下,平面应力状态的主应力表达式为

2 分, 可以带入 角度.如果坐 标系选取不同,或符号不 同,只要正确 即可.下面类 似处理

2 分1分2分+2 分3分4分2分52222123114,0,

4 2

2 2

2 σ σ σ σ τ σ σ σ τ ? ? ? 应用第三强度理论(最大剪应力强度理论) ,有2213max

1 4

2 2 σ σ τ σ τ ? = = + (2-2) 以剪应力

2 τ τ = s 和拉伸应力σ 代入(2-2)式,屈服将发生在当拉伸应力σ 达到

2 2 max

2 2 τ σ τ τ ? ? ? ? = = + ? ? ? ? ? ? ? ? s s (2-3) 故,

3 σ τ = s (2-4) (3)根据圆柱扭转变形后截面保持平面的假定,扭转作用不引起体积改变.仅考虑轴向 拉伸作用下的体积改变量,利用功的互等定理,建立另一均匀压强 p 作用下的圆柱体(考虑小 变形) .圆柱轴向拉伸力为

2 π /

4 F D σ = ,与另一圆柱的伸长变形 ( ) ΔL p 功共轭,由功的互 等关系, ( ) ( ) Δ Δ ? = ? F L p p V F (2-5) 式中, ( )

1 Δ ε = L p L .均匀压强 p 作用下的圆柱体,三个主应力均为:

1 2

3 σ σ σ = = = ? p 轴向伸长应变为 ( ) ( )

1 1

2 3

1 1

2 ε σ ν σ σ ν ? ? ? ? p E E (2-6) 代入(2-5)式,有:

1 2ν Δ ? ? = ? FpL p V F E , 从而得到体积改变量:

2 1

2 1

2 4 σπ Δ ν ν = ? = ? FL D L V F E E (2-7)

三、紧密结合的复合梁(30 分) 【解】 注意:计算结果保留小数点后

2 位即可以.答案中保留了小数点后

3 位. 答案如包含中间过程的参数,只要正确,也同样给分. (1)建立如下坐标系(如果坐标系不同,只要结论正确,不扣分)

3 分1分2分1分1分2分4分方法不限制,

6 先计算折算面积和截面几何性质,换算为同样模量

1 E 材料的 T 形截面,求截面形心的位置, 由于截面对称,故0Cz=,仅求 C y .

2 1

2 2

1 1

1 1

2 2 0.71

2 2 0.592

2 1.2 C h b h bh h h y h h b bh ? ? + + ? ? ? ? = = = + (3-1) (2)叠合梁粘接共同工作,先计算折算面积和截面几何性质,换算为同样模量

1 E 材料的 T 形截面, ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3 3

2 2

1 2

1 1

2 1

2 3

2 3

3 3

1 1

1 3

3 1

1 2 0.592 0.5

2 1 0.592 0.5

12 12 0.083 0.008 0.167 0.1 0.2 0.458 0.091 0.0 0.042 0.133 z bh bh I bh h bh h h bh b h bh bh bh = + + + = + + = (3-2) 由梁端位移计算:

3 1

3 p z F L E I Δ = ,得到所需的竖向力为:

3 1

1 1

3 3

3 0.4 z p E I E bh F L L Δ Δ = = (3-3) (3)求此时不使增强材料层下表面与梁上表面相对滑动的剪力. 由沿梁长度方向的剪力为常数,有QpFF=,得到梁上表面的剪应力为 ( ) [ ] ( )

1 3 top

1 2

1 2

3 2

1 1

1 1

1 1

3 3

3 3

1 2

2 3 0.2 0.408 0.05 0.28 z Q c z z E I S F S E L bh h y h bI bI bL E E h h h h L L Δ Δ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Δ Δ = + = τ (3-4) 乘以梁上表面的面积,即为剪力值:

4 分4分1分4分5分1分72top top

1 1 Q

2 0.28E bh F bL L τ Δ = = (3-5) (4)计算剪应力的分布公式: ( ) ( ) ( ) ( )

2 2

2 2

2 2

1 1

1 3

3 1

2 2

2 3

3 (0.592 )

2 2 Q Q C C z z Q Q C C C z z C F S F b y y y y y bI bI F F b y y y y y y bI I E E y y h y L L ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Δ Δ = ? = ? τ (3-6) 获得剪应力为二次曲线分布,讨论: 在梁的下表面,即Cyy=?,有

0 τ = 在梁的中性轴处有最大剪应力,即0y=,有 ( )

2 1 max

3 1

1 0.592 1.32

2 0.133 Q Q F h F bh bh = = * τ 或211max

3 0.53 E h L Δ = τ (3-7) 在梁的上表面,即1Cyhy=?,有 ( ) ( ) ( ) ( )

2 2

2 1

1 1

2 1

3 1

1 2

2 2

2 0.592

1 0.69

2 0.133 Q Q C C C z z Q Q F F y h y h y h I I F h F bh bh * ? = = * τ 或21130.28 E h L Δ = τ (3-8)

四、令人惊讶的魔术师(20 分) 【解】 : (1)魔术的力学原理:沿不同方向推动木条时,需要的推力大小不同,木条运动的方 式也不同:沿AB 推,推力

1 F 最大,木条平动;

垂直 AB 在不同位置推动木条,木条绕不同

1 分4分, 最后三个 等号中的任意 一个均可以 图2分,定性 对即可.两个 结果都可以.

1 分1分2分木条平动2分;

木条转动时推 力与位置有关,2 分.

8 的点转动,且推力

2 F 的大小、转动位置均与推力位置有关. (2)设木条质量为 M ,长度为 L ,与桌子摩擦因数为 μ .若沿 AB 推,木条平动,临界推 力为

1 F Mg μ = (4-1) (侧视图) 建立坐标系 Axy, 设垂直推 AB 的力 F2 与A端距离为 a (由对称性, 设推力在左半部分) , 杆绕 C 点转动,AC 距离为ξ . (俯视图) 对均质杆,对桌面压力分布为 ( ) Mg q x L = ,垂直杆推时,由y方向力的平衡和对 D 点的力矩 平衡关系,有20()d ( )d

0 L F q x x q x x ξ ξ ? + = ∫ ∫ (4-2)

0 ( )( )d ( )( )d

0 L q x x a x q x x a x ξ ξ ? + ? = ∫ ∫ (4-3) 解出

2 2 2( )

2 2 L a a a ξ ? + = + ,或22(2 ) 2(2 ) L a L ξ ξ ? = ?........