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曹庆宏讲义草稿请勿传播第8章中心势场 我们现在将一维量子问题推广到三维.

8XR 中心势场 中心势场(V (? r) = V (r))具有空间旋转对称性,导致哈密顿算符 ? H 不含有空间 方位角度信息,从而有 ? H, ? ? L = 0, U8XRXRV 即轨道角动量是守恒量.因为 z@轴方位的选取并不改变物理观测量,表现为哈密顿算 符不包含 ? Lz,此时物理体系能量存在简并,简并度为 2? + 1(?? ≤ m ≤ ?) . 由于对称性的关系,在球坐标中处理中心势场的问题更加便利, (x,y,z) ?→ (r sinθ cosφ,r sinθ sinφ,r cosθ). U8XRXkV 定义径向动量算符 ? pr = ?i? h r +

1 r , U8XRXjV 可以验证 ? pr 是厄米算符,而且满足下面的对易关系 [r, ? pr] = i? h. U8XRX9V 因为 ? p2 r = ?? h2

2 r2 +

2 r r , U8XRX8V 所以哈密顿算符可以写作如下形式: ? H = ? p2 r 2? + ? ? L2 2?r2 + V (r). U8XRXeV 曹庆宏讲义草稿请勿传播?kfk8? 第8章中心势场 8XRXR 轨道角动量 8XRXk 中心势场的一般性质 8Xk 球方势阱 8Xj 两体相互作用 物理学描述各种物体之间相互作用规律的一门科学.与某个物体的具体属性相 比,我们更加关心的是相互作用形式,因为相互作用才是各种物体之间共有的性质. 迄今为止,我们在自然界中已经发现存在四种基本相互作用:引力、电磁相互作用、 弱相互作用和强相互作用;

当然这些基本相互作用在不同能量标度上表现为其他的有 效形式.在前面课程中我们讨论了各种势场中的一维量子问题.这些势场都来源于物 体之间的相互作用,下面我们研究一下量子世界中的最简单的相互作用――两体之间 的相互作用. 首先需要了解的是如何描述两体之间的相互作用.经典物理中我们通常将两体问 题分解为整体运动和两个物体之间的相对运动.量子力学中所有物理量都是用算符表 示,我们是否还可以像经典物理一样处理两体问题哪? 下面我们考虑氢原子的粗略结构(:`Qbb bi`m+im`2) .所谓的粗略结构是指如下的 近似: (R)不记及原子核或电子的自旋;

(k)电子在静电场中做非相对论性运动.通 常满足这两个近似条件的原子或离子模型都被称作粗略结构.上述两个近似使得氢原 子的整体哈密顿算符具有简单的形式 ? H = ? p2 N 2mN + ? p2 e 2me ? e2 4π?0|? xe ? ? xN | , U8XjXRV 其中 ? xe 和?xN 分别是电子和原子核空间坐标矢量算符,而?pe 和?pN 则是电子和原子 核的动量矢量算符.在坐标表象中定态薛定谔方程是 ? Hψ(? xN ,? xe) = ? ? h2 2mN ? ?2 n ? ? h2 2me ? ?2 e ? e2 4π?0|? xe ? ? xN | ψ(? xN ,? xe) = Eψ(? xN ,? xe). U8XjXkV 引入 e 个新变量 ? X ≡ me? xe + mN ? xN me + mN , ? r ≡ ? xe ? ? xN , U8XjXjV 其中 ? X 是质心系的位置矢量,而?r则是原子核指向电子的相对坐标位置矢量.因为 ? xe = ? X ? xe ? X + ? r ? xe ? r = me me + mN ? X + ? r ?2 e = ? xe

2 = me me + mN

2 ?2 ? X + ?2 ? r + 2me me + mN

2 ? X ? r . U8XjX9V 曹庆宏讲义草稿请勿传播8X9 氢原子 ?jfk8? 同理得 ?2 N = ? xn

2 = mN me + mN

2 ?2 ? X + ?2 ? r ? 2mN me + mN

2 ? X ? r . U8XjX8V 故而有

1 me ?2 e = me (me + mN )2 ?2 ? X +

1 me ?2 ? r +

2 me + mN

2 ? X ? r ,

1 mN ?2 N = mN (me + mN )2 ?2 ? X +

1 mN ?2 ? r ?

2 me + mN

2 ? X ? r , U8XjXeV 和1me ?2 e +

1 mN ?2 N ≡

1 me + mN ?2 ? X +

1 ? ?2 ? r , U8XjXdV 其中 ? ≡ memN me + mN . U8XjX3V 此时两体问题的定态薛定谔方程化为 Eψ = ? ? h2 2(me + mN ) ?2 ? X 氢原子自由运动 ? HX ψ ? ? h2 2? ?2 ? r ψ ? Ze2 4π?0r ψ 电子和原子核的相对运动 ? H? r . U8XjXNV 波函数可以分解为氢原子整体运动部分(? X)和电子与原子核的相对运动部分(? r) ψ(? xe,? xN ) = K(? X)ψ? r(? r), U8XjXRyV 代入到两体问题的定态薛定谔方程中可得如下两个薛定谔方程 ? ? h2 2(me + mN ) ?2 ? X K(? x) = EkK(? X), ? ? h2 2? ?2 ? r ψ? r ? Ze2 4π?0r ψ? r = E? rψ? r, U8XjXRRV 其中第 k 个方程就是我们前面讨论过的中心势场问题.两体问题的总能量为质心系统 的动能(Ek)和内能(E? r)之和: Etotal = Ek + E? r. U8XjXRkV 注意:内能依赖于两个粒子的约化质量 ?.以氢原子为例, ? = memN me + mN = me mN mN + me ≈ me

1 ? me mN + ・・・ . U8XjXRjV 另外一个例子是氢核和氘核(/2mi2`QM) : 氢核 : mp = 1836me =? ?pe = 0.99945me 氘核 : md = 3670me =? ?pe = 0.99973me. U8XjXR9V 如此小的约化质量差异已经可以通过光谱线实验来观测.在天文学是哪个,人们通过 观测氢原子和氘原子光谱线之间的相对强度来判断星际介质中氢原子和氘原子的相 对残留丰度.此信息有助于人们了解在宇宙演化早期时形成氘原子的条件. 曹庆宏讲义草稿请勿传播?9fk8? 第8章中心势场 8X9 氢原子 将氢原子波函数记作为 ψ(r,θ,φ) = u(r) r Ym ? (θ,φ), U8X9XRV 则氢原子中电子的定态薛定谔方程为 d2 dr2 u(r) ? ?(? + 1) r2 u(r) + 2?E ? h2 u(r) + 2?e2Z 4π?? h2

1 u (r) = 0. U8X9XkV 引入无量纲参数 ρ = ? 8?E ? h2 r, λ = 2?e2 4π?0? h2 ?? h2 8?E =

1 a0 ?? h2 2?E , U8X9XjV 定态薛定谔方程为 d2 dρ2 u?(ρ) ? ?(? + 1) ρ2 u?(ρ) + λ ρ u?(ρ) ?

1 4 u?(ρ) = 0. U8X9X9V 我们注意到,由于普朗克常数的存在,我们可以构造具有长度量纲的常数 a0 来标记 氢原子大小,而且能量 E 和λ参数之间存在一一对应的关系.如果 λ 只能取特定的 整数值,那么能量就会量子化.下面我们可以看到,波函数在原点和无穷远处的自然 边界条件要求 λ 只能取整数. 考虑在 r →

0 和r→∞处的波函数性质 ? ρ → ∞:定态薛定谔方程为 d2 dρ2 u?(ρ) ?

1 4 u?(ρ) = 0, U8X9X8V 其解为 ul(ρ) ? e?ρ/2 . U8X9XeV ? ρ → 0:定态薛定谔方程为 d2 dρ2 u?(ρ) ? ?(? + 1) ρ2 u?(ρ) = 0, U8X9XdV 其解为 ul(ρ) ? ρ?+1 . U8X9X3V 我们猜测氢原子中电子波函数为如下形式: u?(ρ) ? ρ?+1 e?ρ/2 v?(ρ), U8X9XNV 其中两个特殊解的乘积 ρ?e?ρ/2 满足 r →

0 和r→∞两个边界处的薛定谔方程,而v?(ρ) 则描述

0 <

r <

∞ 之间的波函数分布.波函数收敛有界要求 曹庆宏讲义草稿请勿传播8X9 氢原子 ?8fk8? ? 当ρ→0时,v?(ρ) 趋于常数,否则 ? =

0 时波函数行为不好;

? 当ρ→∞时,ρ?+1v?(ρ) 的整体发散性要慢于 eρ/2. 将u?(ρ) 代入到薛定谔方程中可得 ρv′′ ? + [2(? + 1) ? ρ]v′

1 ? λ)v? =

0 U8X9XRyV 此为合流超几何函数(?vT2`;

2QK2i`v 7mM+iBQM) . 级数解法 下面我们仿效一维谐振子势的级数解法来求解上述方程.在波函数中分离出 ρ?+1 和e?ρ/2 两种波函数的渐进行为将简化级数求解.将v(ρ) 展开为 ρ 的级数 v(ρ) = ∞ j=0 ajρj . U8X9XRRV v(ρ) 的一阶和二阶导数为 dv dρ = ∞ j=0 jajρj?1 = ∞ j=0 (j + 1)aj+1ρj , d2v dρ2 = ∞ j=0 j(j + 1)aj+1ρj?1 , U8X9XRkV 其中我们对哑指标做了替换 j → j + 1.故而,薛定谔方程给出 ∞ j=0 j(j + 1)aj+1ρj + 2(l + 1) ∞ j=0 (j + 1)aj+1ρj ? ∞ j=0 jajρj ? (l +

1 ? λ) ∞ j=0 ajρj = 0. U8X9XRjV 令相同幂次 ρj 的系数相等,则有 j(j + 1)aj+1 + 2(l + 1)(j + 1)aj+1 ? jaj ? (l +

1 ? λ)aj = 0, =? [j(j + 1) + 2(l + 1)(j + 1)]aj+1 ? (j + l +

1 ? λ)aj = 0, =? aj+1 = j + l ?

1 ? λ (j + 1)(j + 2l + 2) aj. U8X9XR9V 注意:R)分离出 ρl+1 项可以避免级数展开中出现多个零系数;

k)分离出 e?ρ/2 项 可以避免出现 aj+2,aj+1,aj 的递推关系式,否则计算非常困难. u(ρ) 在∞处收敛要求 lim ρ→∞ ρl+1 v(ρ) <

eρ/2 . U8X9XR8V 下面我们看一下 v(ρ) 级数在 ρ → ∞ 处的渐进行为 lim j→∞ aj+1 aj = lim j→∞ j + l +

1 ? λ (j + 1)(j + 2l + 2) →

1 j . U8X9XReV 曹庆宏讲义草稿请勿传播?efk8? 第8章中心势场 因为 eρ = ∞ j=0 ρj j! , U8X9XRdV 其级数展开式 a′ j+1 和a′ j 满足 lim j→∞ a′ j+1 a′ j =

1 j!

1 (j ? 1)! =

1 j . U8X9XR3V 所以 v(ρ) j→∞ ? ? ? ? ?→ eρ , U8X9XRNV 即u(ρ) → ρl+1 e?ρ/2 eρ → ρl+1 eρ/2 ρ→∞ ? ? ? ? ?→ 发散, U8X9XkyV 明显 v(ρ) 的无穷阶的级数展开是不满足平方可积条件的,所以我们必须对 j 的求和 截断,从而导致能量量子化.截断要求 j + l +

1 ? λ =

0 =? λ ≡ n = j + l + 1. U8X9XkRV 因为轨道角动量量子数 l 是整数, 径向波函数级数展开的幂次 j 也是整数, 所以 λ ≡ n 必定也是整数,其取值为 n = 1,2,3,・・・,并且 λ = n = 2?e2 4π?0? h2 ?? h2 8?E =

1 aB ?? h2 2?E =? En = ? ? h2 2?a2 Bn2 . U8X9XkkV 氢原子离散能级只依赖于主量子数 n,与nr = j 和l无关,能级简并度为 n2.因为角 动量算符平方所代表的三维空间转动不变性,每一个轨道角动量 l 都具有 2l +

1 个 简并,所以氢原子第 n 个能级的简并度为 gn = n?1 l=0 (2l + 1) =

2 n?1 l=0 l + n?1 l=0

1 =

2 *

1 2 (n ? 1)n + n = n2 . U8X9XkjV 引入精细结构常数 α α = e2 4π?0? hc U8X9Xk9V 可将氢原子能级公式简化为 λ = n = α ? mec2 2E =? En = ? e2 4π?0

1 2a0

1 n2 = ?

1 2 me (αc)2

1 n2 . U8X9Xk8V 精细结构常数刻画电磁相互作用强度的物理学参数.因为 e2/? h 具有速度量纲,所以 在非相对论情形下,氢原子中电子的速度(ve)和玻尔半径(aB)分别是 ve ? αc = c

137 , 曹庆宏讲义草稿请勿传播8X9 氢原子 ?dfk8? aB = 4π?0? h2 mec2 =

1 α ? h mec = ? h me(αc) ? 0.53?. 氢原子能级公式中包含一个无量纲的常数 α- α = e2 4π?0? hc ?

1 137.0539779(32) , U8X9XkeV 我们无法通过改........