PDF《科别：数学科》

科别:数学科组别:国小组作品名称: 『先下手为强』……吗? 关键词: 三角形 、 顶点 、 机率 编号:080403 学校名称: 台北县三重市永福国民小学 作者姓名: 黄伟城、林智仁、陈彦儒 指导老师: 田德胜

1 『先下手为强』……吗? 壹、 摘要

一、介绍一个简单好玩的小游戏.

二、小游戏进行时,有人先下;

有人后下,但先后两方对下的胜算却不 同!

三、研究分析小游戏先后两方对下的胜算为何不同?

四、根芯糠治鲂∮蜗废群笫に闼玫

4 个发现来推算先后两方对下 真正(实际)的胜算! 贰、 研究动机 最近我们班流行一种小游戏,是从隔壁班传来的.因为这个游戏有趣好玩,所以我 们常利用下课时间找老师一起玩.起初玩的时候我们也不觉得这个游戏有什麽特别的地 方,只是这个游戏一开始下的时候,必须有人先下;

有人后下,基於尊师重道,礼让老 师为先,所以我们每次都先让老师出手,结果一连玩了三局,老师居然一局也没赢!想 不到老师竟然这麽「肉脚」!原来老师并没有我们想像的那样聪明!可是老师一向是聪 明过人,怎麽这次老师变得这麽笨呢?是什麽原因让老师变得那麽笨!我们都让老师先 出招了,况且古人也说: 「先下手为强!」怎麽老师还连输三局呢?就是这个原因引起我 们的研究动机. 参、 研究目的

一、 在这个游戏中,先下手的和后下手的人,他们输赢的 机率一样吗?

二、 在这个游戏中,有人得先下,有人得后下,如果是先 下的人,要怎样下才会胜算较大?如果是后下的人,要 怎麽下才会胜算较大?

2 肆、 研究器材

一、 纸

二、 笔

三、 自制简易的游戏纸板(便於分析推论的时候使用) 伍、 研究过程

一、 玩法解说:

(一) 游戏的图形,如下图所示:

1 2

3 4

5 6

7 8

9 总共有

10 个圆圈叠罗汉成

4 层,然后排列成一个 三角形.以123fghij9 表示

10 个圆圈, 其中的17 三个圆圈代表三角形的三个顶点;

而 其中的g代表三角形的中心点.

(二) 先后两方轮流把圆圈划掉,一次可以划

1 个;

一次也可以划

2 个, 但是必须划直线,不可以划曲线,也不可以跳著划线.

1 1

2 3

2 3

4 5

6 正确的

4 5

6 错误的

7 8

9 7

8 9

3

(三) 游戏的胜败:先后的两方,在对下的过程中,轮到谁划最后的

1 个圆 圈,谁就输了!也就是说,最后的

1 个圆圈是谁划掉的, 谁就输!

二、研究: 研究一:看看先下手的人和后下手的人,他们各自的胜算有多大? 方法:请老师找班上

20 个同学来实验,每两人为一组,分成

10 组, 然后每一组各玩

10 局,其中五局由两人中的一人先下,另外 五局再由两人中的另一人先下,也就是说

10 局里头,每组中 的每个人先下、后下的局数都是一样五局,这样才公平. 结果:最后得到全班的胜负统计表如下: 攻守胜负先下手者 后下手者 赢的局数

27 73 共100 局 赢的机率

27 73 从上面的实验可以知道: (1) 先下手者的胜算较小!;

后下手者的胜算较大! (2) 先下手者赢的局数:后下手者赢的局数 = 先下手者赢的机率:后下手者赢的机率

4 = 27:

73 =

27 :

73 P

1 :

3 (3) 先下手者赢的机率:后下手者赢的机率 = 27:73 P 1:3 (27:73 大约如 25:75= 1:3) 后下手者的胜算是先下手者的

3 倍! 也就是说先下手者的胜算只有后下手者的 倍! 十组同学(共20 人)对下的情形表,一一如下!(每组一张,共 十张)

5 6

7 8

9 10

11 12

13 14

15 研究二:藉由两人实际对下的过程,来研究先下手的人和后下手的人他们各自的 教战手册(攻防策略)! 第一局 c de fgh ijkl 甲 先下 第一步:先划掉h,这一步会这麽做并 没有什麽依牡览,也就是 随意划掉的 第二步:现在剩下

7 个圆圈,如下图: c de fg ij 我随意划掉fg 第三步:现在剩下

4 个圆圈,如下图: c d ij 分析:1.若我划掉c,对方划掉ij, 则剩下d,我输了! 2.我划掉cd,对方划掉i或j,我输了! 3. 我若划掉i或j,对方划掉 cd,一样我输了! 4.我划掉ij,对方划掉c或d 任一个,我也输了! 结果:第一局我先下,下到这里 剩下

4 个圆圈,接下来无 论如何我怎麽下,我都输 了! 第一局结果: 乙 后下 第一步:划掉kl,这一 步是任意划掉 的, 并没有依 的道理. 第二步:现在剩下

5 个 圆圈,如下图: c de ij 分析:这时我若划掉任 意2个圆圈,我 必输,换句话 说,我只能划掉

1 个圆圈,想一 想,我就随意划 掉e 先下手的人输了!

16 第二局 c de fgh ijkl 甲 先下 第一步:先随意划掉de 第二步:这时剩下

7 个圆圈如下图: fgh ijkl 随意划掉

2 个圆圈,所以我划 掉hl 第三步:这时剩下fgjk四个圆圈如下 图: fg jk 分析:1.我如果划掉f或g或j或k 其中任何一个圆圈,对方 再划掉另外两个圆圈,则 剩下一个圆圈,我输了! 2.我如果划掉fg或gk或jk或fj其中任何两个 圆圈,对方再划掉另外一 个圆圈,则剩下一个圆 圈,我输了! 结果:第二局我也先下,下到 这里,剩下

4 个圆圈, 接下来无论如何我怎麽 下,我都输了! 第二局结果: 乙 后下 第一步:先随意划掉c 第二步:现在圆圈剩下

5 个,如下图: fg ijk 分析:这时,我若任 意划掉2个圆 圈,我必输! 换句话说,我只 能划掉一个圆 圈,想一想,我 就随意划掉i 先下手的人输了!

17 第三局 c de fgh ijkl 甲 先下 第一步:先随意划掉fg 第二步:这时剩下

7 个圆圈,如下图: de h ijkl 随意划掉i 第三步:这时剩下4个圆圈,如下图: h jkl 分析:这时我不管是划掉一个圆 圈或两个圆圈→我都输! 但是还是得玩下去,所以我 随意划掉jk 结果:第三局我又先下,下到这 里,剩下

4 个圆圈,接下 来无论如何我怎麽下,我 都输了! 第三局结果: 乙 后下 第一步:先随意划掉c 第二步:这时剩下

6 个圆 圈,如下图: de h jkl 我随意划掉de 先下手的人输了! 先后两方对下三局得到第一个发现:

10 个圆圈划剩下到最后的4个圆圈时是决胜的关键! 因为1.剩下4个圆圈时才出手的人,这时他划掉1个圆圈,对方划掉

2 个圆圈,剩下最后1个圆圈→他输了! 2. 剩下4个圆圈时才出手的人,这时他划掉

2 个圆圈,对方划掉

1 个圆圈,剩下最后1个圆圈→他也输了! 所以,划剩下到最后4个圆圈的局面时,对这时才出手的人很不利!不论 攻守哪一方,若能将局势导引到剩下4个圆圈时,再让对方来下, 那他的胜算就很大!

18 第四局 c de fgh ijkl 甲 先下 第一步:先随意划掉df 第二步:这时剩下

6 个圆圈,如下图: gh ijkl 分析:1.根懊嫒炙玫降牡谝桓龇 现,这时我一定得划掉两个圆 圈,让圆圈剩下4个,因为这时 对方接著下,局势对对方很不 利,而有利於我! 2. (1)我如果划掉gh,这时剩下 ijkl4个圆圈→我赢 了! (2)我如果划掉hl,这时剩下 gijk4个圆圈→我赢 了! (3)我如果划掉gk,这时剩下 hijl4个圆圈→我赢 了! (4)我如果划掉kl,这时剩下 ghij4个圆圈→我赢 了! (5)我如果划掉ij,这时剩下 ghkl4个圆圈→我赢 了! *但是(6)我如果划掉jk,这时剩下 ghil4个圆圈→我会输! 如下图,对方只要划掉g或h,我就输了! gh il 所以,我选择(2)的情形,划掉 hl 第四局结果 : 乙 后下 第一步:先随意划掉ce 第二步:这时剩下

4 个圆圈,如 下图: g ijk 分析:1.根懊嫒炙玫牡 一个发现:下到剩下4 个圆圈时的局势,对这 时才出手的人很不利! 2. (1) 若我划掉g或i或 j或k其中一个, 对方o要划掉任意 两个→我输了! (2)若我划掉gk或gj或jk或ij 任意两个,对方o 要划掉其中l个→ 我也输了! 结果:第四局我后下手,下 到这里剩下4个圆圈 →我输了! 以这局而言,一开始对方划 掉2个圆圈时,我不应该接著也 划掉2个圆圈,因为这时圆圈数 目剩下6个,对方根叭炙 得的第一个发现,他必然选择划 掉2个圆圈,让圆圈数目剩下4 个,这时才轮到我下,局势不利 於我! 所以 , 当对方一开始划掉2个 圆圈时,我应该选择划掉1个圆 圈!这时剩下7个圆圈,接著对方 若划掉1个圆圈,我可以选择划掉 2个圆圈;

若对方划掉

2 个圆圈, 则我可以选择划掉1个圆圈,因为 这时圆圈数目剩下4个,局势不利 对方!而有利於我了! 先下手的人输了!

19 先后两方对下到第四局,得到第二个发现:

10 个圆圈中的前面

3 个圆圈是另外一个决胜的关键! 也就是说,谁先凑前面3个圆圈被划掉,则局势对谁就比较有利! 举例而言: 先下手的人一开始若o划掉

1 个圆圈时,则后下手的人必然 选择划掉2个圆圈.同理,先下手的人一开始若划掉2个圆圈,则后 下手的人接著必然选择划掉一个圆圈,来凑前3个圆圈被划掉,因为 谁先凑前3个圆圈被划掉,则愈能主导之后的局面.因为这时剩下7 个圆圈,有两种情形如下: 1. 若先下的人划掉1个圆圈,则后下的人可以选择划掉2 个圆圈,让圆圈数目剩下四个! 2. 若先下的人划掉

2 个圆圈,则后下的人可以选择划掉

1 个圆圈,让圆圈数目剩下四个! 这时,不论是第1种情形或第2种情形都符合上述的第一个发 现:剩下四个圆圈时是决胜的关键! 所以 , 从这可以看出此时局势有利於后下手的人!而我们也可以从这 看出这个游戏一开始对先下手的人就比较不利!(因为这个游 戏的主动权,不在先下手的人,而是在后下手的人;

后下手 的人可以根认率值娜说南路匆蛴Ρ浠⒓胁鹫!) 攻守两方对下到第四局,从第四局甲的分析 (6) 得到第三个发现:

10 个圆圈划剩4个圆圈时,这4个圆圈中若有2个或3个圆圈位 在顶点和中心点的位置时,对这时接著才下手的人反而有利! 虽然,根鲜龅谝桓龇⑾:

10 个圆圈划剩4个圆圈时,对这时才接著下手的人很不利! 但是若这剩下的4个圆圈的位置, 有2个或3个圆圈是位在顶点 和中心点的位置时 , 则局势由原本不利这时下手的人转变成有利於这 时才下手的人! 也就是说:10 个圆圈划剩4个圆圈时,若是这4个圆圈的位置, 有2个或3个是位在顶点和中心点的位置时,则对这 时才下手的人反而有利!

20 故!从这也衍生出第四个发现: 这个游戏一开始对先下手的人就比较不利!然而未必完全不利! 故,对於先下手的人而........