PDF《《弹性力学简明教程》 习题提示和参考答案》

《弹性力学简明教程》 习题提示和参考答案

第二章 习题的提示与答案 2-1 是2-2 是2-3 按习题2-1分析.

2-4 按习题2-2分析. 2-5 在 的条件中,将出现

2、3阶微量.当略去3阶微量后,得出的切应力互等 定理完全相同. 2-6 同上题. 在平面问题中, 考虑到3阶微量的精度时, 所得出的平衡微分方程都相同. 其区别只是在3阶微量(即更高阶微量)上,可以略去不计. 2-7 应用的基本假定是:平衡微分方程和几何方程连续性和小变形,物理方程理 想弹性体. 2-8 在大边界上,应分别列出两个精确的边界条件;

在小边界(即次要边界)上,按 照圣维南原理可列出3个积分的近似边界条件来代替. 2-9 在小边界 OA 边上,对于图2-15(a) 、 (b)问题的三个积分边界条件相同,因此, 这两个问题为静力等效. 2-10 参见本章小结. 2-11 参见本章小结. 2-12 参见本章小结. 2-13 注意按应力求解时,在单连体中应力分量 必须满足 (1)平衡微分方程, (2)相容方程, (3)应力边界条件(假设 ). 2-14 见教科书. 2-15 见教科书. 2-16 见教科书. 2-17 取 它们均满足平衡微分方程,相容方程及 x=0和 的应力边界条件,因此,它们是该问题 的正确解答. 2-18 见教科书. 2-19 提示:求出任一点的位移分量 和 ,及转动量 ,再令 ,便可得出.

第三章 习题的提示与答案 3-1 本题属于逆解法,已经给出了应力函数,可按逆解法步骤求解: (1)校核相容条件是否满足, (2)求应力, (3)推求出每一边上的面力 从而得出这个应力函数所能解决的问题. 3-2 用逆解法求解.由于本题中 l>

>

h, x=0,l 属于次要边界(小边界) ,可将小边 界上的面力化为主矢量和主矩表示. 3-3 见3-1例题. 3-4 本题也属于逆解法的问题.首先校核 是否满足相容方程.再由 求出应力后, 并求对应的面力.本题的应力解答如习题3-10所示.应力对应的面力是: 主要边界: 所以在 边界上无剪切面力作用.下边界无法向面力;

上边界有向下 的法向面力 q. 次要边界: x=0面上无剪切面力作用;

但其主矢量和主矩在 x=0 面 上均为零. 因此,本题可解决如习题3-10所示的问题. 3-5 按半逆解法步骤求解. (1)可假设 (2)可推出 (3)代入相容方程可解出 f、 ,得到 (4)由 求应力. (5)主要边界 x=0,b 上的条件为 次要边界 y=0上,可应用圣维南原理,三个积分边界条件为 读者也可以按 或 的假设进行计算. 3-6 本题已给出了应力函数 ,应首先校核相容方程是否满足,然后再求应力,并考 察边界条件.在 各有两个应精确满足的边界条件,即 而在次要边界 y=0 上, 已满足,而 的条件不可能精确满足(否则只有 A=B=0,使本题无解) ,可用积分条件代替: 3-7 见例题2. 3-8 同样,在 的边界上,应考虑应用一般的应力边界条件(2-15). 3-9 本题也应先考虑对称性条件进行简化. 3-10 应力函数 中的多项式超过四次幂时, 为满足相容方程, 系数之间必须满足一定 的条件. 3-11 见例题3. 3-12 见圣维南原理. 3-13 m 个主要边界上,每边有两个精确的应力边界条件,如式(2-15)所示.n 个次要 边界上,每边可以用三个积分的条件代替. 3-14 见教科书. 3-15 严格地说,不成立.

第四章 习题的提示和答案 4-1 参见§4-1,§4-2. 4-2 参见图4-3. 4-3 采用按位移求解的方法,可设 代入几何方程得形变分量,然后 再代入物理方程得出用位移表示的应力分量.将此应力公式代入平衡微分方程,其中第二式 自然满足,而由第一式得出求 的基本方程. 4-4 按应力求解的方法,是取应力为基本未知函数.在轴对称情况下, ,只有 为基本未知函数, 且它们仅为 的函数. 求解应力的基本方程是: (1)平衡微分方程(其 中第二式自然满足),(2)相容方程.相容方程可以这样导出:从几何方程中消去位移,得 再将形变通过物理方程用应力表示,得到用应力表示的相容方程. 4-5 参见§4-3. 4-6 参见§4-3. 4-7 参见§4-7. 4-8 见例题1. 4-9 见例题2. 4-10 见答案. 4-11 由应力求出位移,再考虑边界上的约束条件. 4-12 见提示. 4-13 内外半径的改变分别为 两者之差为圆筒厚度的改变. 4-14 为位移边界条件. 4-15 求出两个主应力后,再应用单向应力场下圆孔的解答. 4-16 求出小圆孔附近的主应力场后,再应用单向应力场下圆孔的解答. 4-17 求出小圆孔附近的主应力场后,再应用单向应力场下圆孔的解答. 4-18 见例题3. 4-19 见例题4.

第五章 习题提示和答案 5-1 参见书中由低阶导数推出高阶导数的方法. 5-2 参见书中的方程. 5-3 注意对称性的利用,取基点 A 如图.答案见书中. 5-4 注意对称性的利用,并相应选取基点 A.答案见书中. 5-5 注意对称性的利用,本题有一个对称轴. 5-6 注意对称性的利用,本题有二个对称轴. 5-7 按位移求微分方程的解法中,位移应满足:(1) 上的位移边界条件,(2) 上 的应力边界条件,(3)区域 A 中的平衡微分方程.用瑞利-里茨变分法求解时,设定的位移试 函数应预先满足(1)上的位移边界条件,而(2)和(3)的静力条件由瑞利-里茨变分法来代替. 5-8 在拉伸和弯曲情况下,引用 的表达式,再代入书中的公式.在 扭转和弯曲情况下,引用 的表达式,再代入书中的公式. 5-9 对于书中图5-15的问题,可假设 对于书中图5-16的问题中,y 轴是其对称轴,x 轴是 其反对称轴,在设定 u、v 试函数时,为满足全部约束边界条件,应包含公共因子 .此外,其余的乘积项中,应考虑:u 应为 x 和y的奇函数,v 应为 x 和y的偶函数. 5-10 答案见书中.

5 -

11 在u,v 中各取一项,并设时,用瑞利-里茨法得出求解的方程是代入 后,上两式方程是 解出 位移分量的解答为 应力分量为

第六章 习题的提示和答案 6-1 提示:分别代入 的公式进行运算. 6-2 (3)中的位移,一为刚体平移,另一为刚体转动,均不会产生应力.其余见书 中答案. 6-3 求i结点的连杆反力时,可应用公式 为对围绕 i 结点的单元求和. 6-4 求支座反力的方法同上题. 6-5 单元的劲度矩阵 k,可采用书中 P.124式(g)的结果,并应用公式 求 出整体劲度矩阵的子矩阵. 6-6 求劲度矩阵元素同上题.应力转换矩阵可采用书中 P.127的结果. 6-7 求劲度矩阵元素可参见 P.124式(g) 的结果, 再求出整体劲度矩阵元素 答案见书中. 6-8 当单元的形状和局部编号与书中图6-10相同时,可采用 P.124式(g) 的单元劲度矩阵. 答案:中心线上的上结点位移 下结点位移 6-9 能满足收敛性条件,即位移模式不仅反映了单元的刚度位移和常量应变,还在单 元的边界上,保持了相邻单元的位移连续性.

第七章 习题的提示和答案 7-1 答案: 7-2 提示: 原(x,y,z)的点移动到(x+u,y+v,z+w)位置,将新位置位置代入有关平面、直线、平行六 面体和椭球面方程. 7-3 见本书的叙述. 7-4 空间轴对称问题比平面轴对称问题增加了一些应力、形变和位移,应考虑它们在 导出方程时的贡献. 7-5 对于一般的空间问题,柱坐标中的全部应力、形变和位移分量都存在,且它们均 为 的函数.在列方程时 应考虑它们的贡献.

第八章 习题的提示和答案 8-1 提示:应力应满足平衡微分方程、相容方程及应力边界条件(设).柱体的 侧面,在(x,y)平面上应考虑为任意形状的边界(n=0,l,m 为任意的) ,并应用一般的应力 边界条件. 8-2 提示:同上题.应力应满足平衡微分方程、相容方程及应力边界条件(设 若为多连体,还应满足位移单值条件. 由于空间体为任意形状, 因此, 应考虑一般的应力边界条件 (7-5) : 法线的方向余弦为 l,m,n, 边界面为任意斜面,受到法向压力 q 作用.为了考虑多连体中的位移单值条件,应由应力求 出对应的位移,然后再检查是否满足单值条件. 8-3 见§8-2的讨论. 8-4 从书中式(8-2)和(8-12)可以导出.由结论可以看出位移分量和应力分量等的 特性. 8-5 为了求 o 点以下 h 处的位移,取出书中式(8-6)的 ,并作如下代换 , 然后从 o→a 对 积分. 8-6 引用布西内斯克解答,在z=0的表面上的沉陷是 (1)求矩形中心点的沉陷,采用图8-9(a)的坐标系, 代 入并积分, 再应用部分积分得到, . (2)求矩形角点处的沉陷,采用图8-9(b)的坐标系, 8-7 题中 已满足边界条件 再由 便可求出切应力及扭角等. 8-8 题中 能满足两个圆弧处的边界条件 然后,相似于上题进行求式解 为 的两倍. 8-9 分别从椭圆截面杆导出圆截面杆的解答,和从矩形截面杆导出正方形截面杆的解 答;

并由 ,得出 代入后进行比较即可得出. 8-10 参见§8-8的讨论.

第九章 习题提示和答案 9-1 挠度 w 应满足弹性曲面的微分方程, x=0的简支边条件, 以及椭圆边界上的固定边 条件, .校核椭圆边界的固定边条件时,可参见例题4. 求挠度及弯矩等的最大值时,应考虑函数的极值点(其导数为0)和边界点,从中找出其最大 值.

9 -

2 在重三角级数中只取一项可以满足的弹性曲面微分方程,并可以求出系数 m.而四个简支边的条件已经满足. 关于角点反力的方向、符号的规定,可参见§9-4中的图9-5. 9-3 本题中无横向荷载,q= 0,只有在角点 B 有集中力 F 的作用.注意 w =mxy 应满足: 弹性曲面的微分方程,x =0和y=0的简支边条件, x =a 和y=b 的自由边条件,以及角点的 条件 (见图9-5中关于角点反力的符号规定) . 在应用莱维解法求解各种边界条件的矩形板时,这个解答可以用来处理有两个自由边相 交的问题,以满足角点的条件.因此,常应用这个解答于上述这类问题,作为其解答的一部 分.读者可参考§9-6中图9-9的例题. 9-4 本题中也无横向荷载,q= 0,但在边界上均有弯矩作用.x= 0,a 是广义的简支边, 其边界条件是 而y= 0,b 为广义的自由边,其边界条件是 将w=f(x)代入弹性曲面微分方程,求出 f(x).再校核上述边界条件并求出其中的待定系数. 9-5 参见§9-7及例题1,2. 9-6 应用纳维解法,取w为重三角级数,可以满足四边简........