PDF《求解双层弹性膜单侧接触问题的 Uzawa 算法 *》

第35 卷第

6 期Vol郾35摇NO郾6摇摇摇摇摇摇摇摇重庆工商大学学报(自然科学版) J Chongqing Technol Business Univ郾(Nat Sci Ed) 摇摇摇摇摇摇摇摇2018 年12 月Dec郾2018 doi:10.

16055 / j. issn. 1672-058X. 2018. 0006.

013 求解双层弹性膜单侧接触问题的 Uzawa 算法* 严月月, 钟艳丽, 郭楠馨 (重庆师范大学 数学科学学院,重庆

401331 摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇)摇摇收稿日期:2017-10-20;

修回日期:2018-02-09. 摇* 基金项目:重庆市科技计划项目(CSTC2017JCYJAX0316). 作者简介:严月月(1992-) ,女,重庆梁平人,硕士研究生,从事偏微分方程数值研究. 摘摇 要:双层弹性膜问题在力学方面有着很重要的作用,而很难用解析方法直接得到它的解;

在变分法 和不动点理论的基础上提出了求解问题的 Uzawa 算法,给出了算法的具体过程;

利用双线性形式的一些基本 性质和算法特点可证明算法的收敛性;

利用算法,在算例中对双层弹性膜问题的数值结果和精确解进行比 较,问题数值解及其自由边界与解析解能较好地吻合;

理论分析和数值结果都表明了所给算法的有效性. 关键词:弹性膜;

单侧接触;

变分法;

不动点;

Uzawa 算法 中图分类号:O241郾82摇摇摇文献标识码:A摇摇摇摇摇文章编号:1672-058X(2018)06-0075-04 摇摇双层弹性膜问题的数值模拟是近年来广受关 注的一个问题,问题的数学模型是建立在弹性基本 定律上的,遵循以下两个原理:两个膜之间不能相 互渗透;

在两个弹性膜的接触面, 遵循牛顿的作 用― ― ―反作用定律,即每个膜对另一个膜有相同的 作用. 由这些理论,便可得到一个由偏微分等式和 不等式构成的数学模型,并利用变分原理可得到相 应的变分形式[1-2] . 由文献[3] 可知该问题的解存 在且唯一. 给出一种求解上述问题的 Uzawa 算法, 并证明该算法的收敛性. 通过数值算例验证该方 法的有效性. 1摇 双层弹性模问题及变分形式 讨论如下弹性膜问题: -驻u1 -姿=f1 在赘上, -驻u2 +姿=f2 在赘上, u1 -u2 逸0,姿逸0, u1 -u ( )

2 姿=0, 在赘上, u1 =g 在赘上, u2 =0 在赘上ì?í????????,(1) 其中 赘奂R2 是一个有界、连通的开集,且边界鄣 赘为Lipschitz 连续的. 在这个模型中,u1 和u2 是未知量,表示两个膜 垂直方向的位移,Lagrange 乘子 姿 表示第二个膜在 第一个膜上的作用量,f1 和f2 是外部压力. 模型中 的边界条件意味着第一个膜在距离边界鄣赘 为g时固定(g 是一个非负函数),第二个膜在边界处固定. 首先引入几个函数空间: H1 g ( ) 赘=v沂H1 ( ) 赘;

v=g,v沂鄣 { } 赘;

凸子集: 撰{=字沂L2 ( ) 赘 ;

字逸0 几乎处处在 赘}上;

凸集: 资g = (v1 ,v2 )沂H1 g ( ) 赘伊H1

0 ( ) 赘;

v1 -v2 逸0 当且仅当在 赘{}中;

为了考虑边界条件 g 的非负性,锥定义为: Hs + 鄣()赘=k沂Hs 鄣()赘{;

k逸0当且仅当在鄣赘 } 上 ,接下来考虑如下变分问题:对于任意的 f1 ,f ( )

2 沂H-1 ( ) 赘伊H-1 ( ) 赘,g沂H

1 2 + 鄣()赘,存在 u1 ,u2 , ( ) 姿沂H1 g ( ) 赘伊H1

0 ( ) 赘 伊撰,使得: 移2i=1乙赘 (gradui )(x)・(gradvi )(x)dx - 乙赘 姿(x)・(v1 - v2 )(x)dx = 移2i=1掖fi ,vi 业 乙赘 (字-姿)(x)(u1 - u2 )(x)dx 逸ì?í????????0(2) 其中坌 v1 ,v ( )

2 沂H1

0 ( ) 赘伊H1

0 ( ) 赘 ,坌字沂撰. 由文献[4]知道问题(2)满足如下结论: 引理 1摇 对任意的 f1 ,f ( )

2 沂L2 ( ) 赘伊L2 ( ) 赘,g沂H12+鄣()赘,式 ( )

2 有唯一解 u1 ,u2 , ( ) 姿沂H1 g ( ) 赘伊H1

0 ( ) 赘 伊撰,并且解满足 椰u1 椰H1 ( ) 赘 +椰u2 椰H1 ( ) 赘 +椰姿椰L2 ( ) 赘臆c椰f1 椰L2 ( ) 赘 +椰f2 椰L2 ( ) 赘 +椰g椰H

1 2 ( ) ( ) 赘(3) 知道 a( ) ・ , ・ 是H1

0 ( ) 赘伊H1

0 ( ) 赘 的双线性形 式[5-6] ,并且满足 a(v,v)逸自 v

2 H1

0 a(w,z)臆滋 w H1 z H1 (4) 其中 自>

0,滋>

0,v沂H1

0 ( ) 赘,w,z沂H1 ( ) 赘.若av,v ( ) + 臆0,则v+ =0(其中 v+ =max 0, ( ) v ). ( )

5 那么对于等式 -驻u1 -姿=f1 在赘上, -驻u2 +姿=f2 在赘上{,(6) 左右两边同时乘以 v1 和v2 ,利用 Green 公式可得到 如下变分等式: a u1 ,v ( )

1 - 姿,v ( )

1 = f1 ,v ( )

1 ,v1 沂H1 0(赘) a u2 ,v ( )

2 + 姿,v ( )

2 = f2 ,v ( )

2 ,v2 沂H1 0(赘{)摇(7) 由文献[7-8]可知 u1 -u2 逸0,姿逸0, u1 -u ( )

2 姿=0等价于 姿=max 0,姿+c u2 -u ( ) ( )

1 ,其中 c>

0,姿逸0. 因 此得到问题( ) 1郾1的等价变分投影形式如下: a u1 ,v ( )

1 - 姿,v ( )

1 = f1 ,v ( )

1 a u2 ,v ( )

2 + 姿,v ( )

2 = f2 ,v ( )

2 姿=max 0,姿+c u2 -u ( ) ( ) ì ? í ? ? ? ?

1 ( )

8 2摇Uzawa 算法及收敛性分析 利用式( )

8 和文献[9]中的 Uzawa 算法,从而得 到求解问题( )

1 的Uzawa 算法,具体过程如下: 第一步摇 取初始点 u(0)

1 ,u(0)

2 ,姿(0 ( ) ) , 置k=0,酌 为足够小的正参数;

第二步摇 由姿k()+1 = 姿( ) k +酌u(k)

2 -u(k) ( ) [ ]

1 + 解出 姿k()+1 ;

第三步摇 求解问题 a u1 ,v ( )

1 - 姿,v ( )

1 = f1 ,v ( )

1 a u2 ,v ( )

2 + 姿,v ( )

2 = f2 ,v ( ) {

2 其中 v1 沂H1

0 ( ) 赘,v2 沂H1

0 ( ) 赘,得出 uk+1

1 和uk+1

2 ;

第四步摇 停止或返回第二步. 利用以上算法原理和问题的性质,可得如下收 敛性定理: 定理 1摇令u( ) k

1 ,u( ) k

2 ,姿( ) ( ) k 是由上述算法产 生的序列, u*

1 ,u*

2 ,姿()*是问题( )

8 的解,则当 k寅? 时,u( ) k

1 在H1 g 空间内收敛于 u*

1 ,u( ) k

2 在H1

0 空间内 收敛于 u*

2 ,姿( ) k 在L2 ( ) 赘 内收敛于 姿* . 证明摇 由式( )

7 中取 u1 = uk+1

1 ,u2 = uk+1

2 ,姿=姿k+1 可得: a u(k+1)

1 ,v ( )

1 - 姿k()+1 ,v ( )

1 = f1 ,v ( )

1 a u(k+1)

2 ,v ( )

2 + 姿k()+1 ,v ( )

2 = f2 ,v ( ) {

2 (9) 其中v1 沂H1

0 ( ) 赘,v2 沂H1

0 ( ) 赘,又因为u*

1 ,u*

2 ,姿()*是式( )

7 的解,即au*

1 ,v ( )

1 - 姿* ,v ( )

1 = f1 ,v ( )

1 a u*

2 ,v ( )

2 + 姿* ,v ( )

2 = f2 ,v ( ) {

2 摇(10) 其中 v1 沂H1

0 ( ) 赘,v2 沂H1

0 ( ) 赘,由式( )

9 减去式( )

10 可得: a u(k+1)

1 -u*

1 ,v ( )

1 - 姿k()+1 -姿* ,v ( )

1 =0, a u(k+1)

2 -u*

2 ,v ( )

2 + 姿k()+1 -姿* ,v ( )

2 =0 { , (11) 在式( )

11 中令 v1 =u(k+1)

1 -u*

1 ,v2 =u(k+1)

2 -u*

2 , 再把两式相加可得: a u(k+1)

1 -u*

1 ,u(k+1)

1 -u* ( )

1 +a u(k+1)

2 -u*

2 ,u(k+1)

2 -u* ( )

2 = 姿(k+1) -姿* , u(k+1)

1 -u* ( )

1 - u(k+1)

2 -u* ( ) ( )

2 逸琢1 椰u(k+1)

1 -u*

1 椰2 H1(赘) +琢2 椰u(k+1)

2 -u*

2 椰2 H1(赘) 又因为 姿(k+1) = 姿(k) +酌(u(k)

2 -u(k)

1 [ ] ) + , 因此

6 7 重庆工商大学学报(自然科学版) 第35 卷第6期严月月,等:求解双层弹性膜单侧接触问题的 Uzawa 算法 椰姿(k+1) -姿(*) 椰2 = 椰姿(k) +酌(u(k)

2 -u(k)

1 [ ] ) + - 姿(*) +酌(u*

2 -u*

1 [ ] ) +椰2 臆椰(姿(k) -姿* )+酌((u(k)

2 -u*

2 )-(u(k)

1 -u*

1 ))椰2 = 椰姿(k) -姿* 椰2 +酌2 椰(u(k)

2 -u*

2 )-(u(k)

1 -u*

1 )椰2 + 2酌掖姿(k) -姿* ,(u(k)

2 -u*

2 )-(u(k)

1 -u*

1 )业臆 椰姿(k) -姿* 椰2 +酌2 椰(u(k)

2 -u*

2 )-(u(k)

1 -u*

1 )椰2 - 琢1 椰u(k)

1 -u*

1 椰2 L2(赘) -琢2 椰u(k)

2 -u*

2 椰2 L2(赘) 臆 椰姿(k) -姿* 椰2 +酌2 椰u(k)

2 -u*

2 椰2 ・椰u(k)

1 -u*

1 椰2 - 琢1 椰u(k)

1 -u*

1 椰2 L2(赘) -琢2 椰u(k)

2 -u*

2 椰2 L2(赘) 臆 椰姿(k) -姿* 椰2 +2C2酌2 椰u(k)

2 -u*

2 椰2 + 2C1酌2 椰u(k)

1 -u(*)

1 椰2 -琢1 椰u(k)

1 -u*

1 椰2 H1(赘) - 琢2 椰u(k)

2 -u*

2 椰2 H1(赘) = 椰姿(k) -姿* 椰2 +(2C2酌2 - 琢2)椰u(k)

2 -u*

2 椰2 H1(赘) ,+(2C1酌2 -琢1)椰u(k)

1 -u*

1 椰2 H1(赘) 所以有 (琢2 -2C2 酌2 )椰u(k)

2 -u*

2 椰2 H1(赘) +(琢1 - 2C1 酌2 )椰u(k)

1 -u*

1 椰2 H1(赘) 臆椰姿(k) -姿* 椰2 - 椰姿(k+1) -姿* 椰2 , 其中

0 ........