DOC《南通市2017届高三第三次调研测试》

22、23题,每小题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.(本小题满分10分) 如图,在四棱锥中,平面ABCD,四边形是直角梯形, ,,

. (1)求二面角的余弦值;

(2)设是棱上一点,是的中点,若与平面所成角的正弦值为,求线段的长. 23.(本小题满分10分) 已知函数(,).设为的导数,. (1)求,;

(2)猜想的表达式,并证明你的结论. 答案 1.【答案】 2.【答案】 3.【答案】 4.【答案】3 5.【答案】7500 6.【答案】110 7.【答案】 8.【答案】 9.【答案】 10.【答案】1 11.【答案】8 12.【答案】 13.【答案】2 14.【答案】 15.【解】(1)由条件,周期, 即,所以,即.3分 因为的图象经过点, 所以,所以, 所以.6分(2)由, 得,8分即, 所以,即.12分 因为,所以或.14分16.【证】(1)因为M,N分别为棱PD,PC的中点, 所以MN∥DC,2分 又因为底面ABCD是矩形,所以AB∥DC, 所以MN∥AB.4分 又平面PAB,平面PAB, 所以MN∥平面PAB.6分(2)因为AP=AD,M为PD的中点, 所以AM⊥PD.8分 因为平面PAD⊥平面ABCD, 又平面PAD∩平面ABCD= AD,CD⊥AD,平面ABCD, 所以CD⊥平面PAD.10分 又平面PAD,所以CD⊥AM.12分 因为CD,平面PCD,,

所以AM⊥平面PCD.14分17.【解】(1)方法一:由题意,得…… 3分 解得 所以椭圆的标准方程为.5分 方法二:由题意,知, 所以.2分又,,

所以, 所以椭圆的标准方程为.5分(2)方法1:设直线的方程为. ① 若k=0时,AB=2a=4,FD=FO=1,所以;

6分②若k≠0时, ,,

AB的中点为,代入椭圆方程,整理得 , 所以, 所以,8分 所以, 所以AB的垂直平分线方程为. 因为DA=DB,所以点D为AB的垂直平分线与x轴的交点, 所以, 所以.10分 因为椭圆的左准线的方程为,离心率为, 由,得, 同理. 所以.12分 所以. 综上,得的值为4.14分 方法2:设,,

AB的中点为, ① 若直线与x轴重合,6分②若直线不与x轴重合, 设,,

AB的中点为, 由得, 所以, 所以直线的斜率为,8分 所以AB的垂直平分线方程为. 因为DA=DB,所以点D为AB的垂直平分线与x轴的交点, 所以,所以.10分 同方法一,有,12分 所以. 综上,得的值为4.14分 方法3:① 若直线AB与x轴重合,6分②若直线AB不与x轴重合,设,,

则AB的中点为, 所以AB的垂直平分线方程为. 8分令y=0,得. 所以.10分 同方法一,有,12分 所以. 综上,得的值为4.14分18.【解】设DE与半圆相切于点Q,则由四边形CDEF 是等腰梯形知,DQ=QE,以OF所在 直线为x轴,OQ所在直线为y轴,建立如图 所示的平面直角坐标系xOy. (1)方法一:由题意得, 点E的坐标为,1分 设直线EF的方程为(), 即. 因为直线EF与半圆相切, 所以圆心O到直线EF的距离为,解得. …… 3分 代入可得,点F的坐标为.5分 所以, 即(7分 方法二:设切圆于,连结, 过点作,垂足为. 因为,,

, 所以RtEHF≌RtOGF,3分 所以. 由,5分 所以(7分(2)设修建该参观线路的费用为万元. ① 当,,

由,则在上单调递减. 所以当时,取最小值为;

11分②当时,,

所以,13分 因为,所以, 且当时,;

当时,,

所以在上单调递减;

在上单调递增. 所以当时,取最小值为. 由①②知,取最小值为.15分答:(1)的长为百米;

(2)修建该参观线路的最低费用为万元.16分19.【解】(1)由条件,知即 所以.2分 因为,所以.4分(2)由,即, 所以, 同理可得,6分 因为成等差数列, 所以. 记,则有, 因为,所以,故,即.8分 所以. 记,则为奇数, 又公差大于1,所以,10分 所以,即, 当时,取最大值为.12分(3)满足题意的数组, 此时通项公式为,. 例如:16分20.【解】(1)当时,,