PDF《2018年 暑期学校测 试题》

2018年年年暑 暑 暑期 期 期学 学 学校 校 校测 测 测试 试 试题 题题1.

(15分)设n ≥ 1, S是n阶实对称方阵, 定义实变量函数f(x) = det(In ? xS). 求证: x = 0为函数f(x)的极大值点的充要条件是Tr S = 0. 2. (15分)设V 是实线性空间, m为任意正整数, Wi(1 ≤ i ≤ m)是V 的m个真子空间, 求证V ?= ∪1≤i≤mWi. 3. (20分)设f(x) ∈ Q[x]是d次有理系数的多项式, 如果对任意整数n ∈ Z, 都有f(n) ∈ Z则称f(x)是整值多项式. 求证f(x)是整值多项式当且仅当存在a0,ad ∈ Z, 使得f(x) = ∑ 0≤i≤d ai (x i ) , 其中 (x i ) = x(x?1)・・・(x?i+1) i! , i ≥ 0. 4. (25分)设n > 1, n阶可逆实方阵A的行向量两两之间的内积小于0(A的行向量之间夹 角为钝角). 求证A?1 的列向量两两之间的内积大于0(A?1 的列向量之间夹角为锐角). 5. (25分)对n ≥ 1, 设n阶整系数方阵的集合A(n) = {A = (aij)1≤i,j≤n ∈ Zn*n | aij = 0或1}. 定义 pn = #{A ∈ A(n) | det A为奇数} #A(n) 为A(n)中行列式为奇数的矩阵所占的比例. (1)给出pn的计算公式;

(2)证明p = limn→∞ pn存在, 并计算p前5位有效数字. 1