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结构分析

第三章 能量原理及其应用(4) 结构分析

第三章 能量原理及其应用(4) 郭空明 郭空明

第三章 能量原理及其应用

第三章 能量原理及其应用 3.

1 应变能 3.1 应变能 3.2 互等定理 3.2 互等定理 3.3 单位载荷法 3.3 单位载荷法 3.4 泛函与变分简介 3.4 泛函与变分简介 3.5 最小势能原理 3.5 最小势能原理 3.6 虚功原理 3.6 虚功原理

第三章 能量原理及其应用 U V P= + V W = - 3.5 最小势能原理 3.5 最小势能原理 对于弹性体,若载荷为保守力,则系统为保守系统. (若载荷保持不变,则一定为保守力.) 对于弹性体,若载荷为保守力,则系统为保守系统. (若载荷保持不变,则一定为保守力.) 系统的总势能定义为内力势能(应变能)U与外力势能V之和 系统的总势能定义为内力势能(应变能)U与外力势能V之和 外力势能定义为外力在结构恢复变形时所做功,为结构以常力 加载时做功的负值(力乘以位移的负值): 外力势能定义为外力在结构恢复变形时所做功,为结构以常力 加载时做功的负值(力乘以位移的负值):

第三章 能量原理及其应用 按照力学的一般说法,任何一个实际状态的弹性结构系统的总 势能是这个系统从实际状态运动到某一参考状态(通常取结构 的卸载状态)时它的所有作用力所做的功. 按照力学的一般说法,任何一个实际状态的弹性结构系统的总 势能是这个系统从实际状态运动到某一参考状态(通常取结构 的卸载状态)时它的所有作用力所做的功. 结构系统的作用力包括外力和内力.内力势能就是已阐明的应 变能U.因为在卸载时,应力总是和应变同方向的,所以应变 能是正值.外力势能是结构从它的最终位置(受力变形状态) 恢复到它的初始状态(无变形状态)时,结构上的每一个外力 所做的功W,显然它是负值. 结构系统的作用力包括外力和内力.内力势能就是已阐明的应 变能U.因为在卸载时,应力总是和应变同方向的,所以应变 能是正值.外力势能是结构从它的最终位置(受力变形状态) 恢复到它的初始状态(无变形状态)时,结构上的每一个外力 所做的功W,显然它是负值. 思考:为什么外力势能是负值?

第三章 能量原理及其应用 结构的总势能一般是位移函数的泛函 最小势能原理:对于平衡的弹性体,在一切容许的位 移场(函数)中,满足平衡方程的位移使总势能(数值)取最小值. 最小势能原理:对于平衡的弹性体,在一切容许的位 移场(函数)中,满足平衡方程的位移使总势能(数值)取最小值. 因此,最小势能原理是一种变分原理.

第三章 能量原理及其应用 例1:两端固支的梁在均布载荷作用下的弯曲变形 挠度v(x)在边界上的条件为:

0 0 l l u u u u ? ? = = = 总势能: ( ) ( )

2 2

2 0

1 =

2 l d U V EI q x x dx dx u u ì ü ? ? ? ? ? ? ÷ ? ? ? ÷ P + = - ? í ? ÷ ? ÷ ? ? ? è ? ? ? ? ? ? ? ò

第三章 能量原理及其应用 平衡条件为总势能取驻值:

0 dP = 根据欧拉-泊松方程 ( ) ( )

2 2

2 0

1 2 l d EI q x x dx dx u u ì ü ? ? ? ? ? ? ÷ ? ? ? ÷ P = - ? í ? ÷ ? ÷ ? ? ? è ? ? ? ? ? ? ? ò 可得:

2 2

0 F d F d F dx dx u u u ? ? ? ? ? ? ? ÷ ÷ ? ? - + = ÷ ÷ ? ? ÷ ÷ ? ? ? ?? è ? è ?

2 1

2 F EI q u u ?? = -

4 4

0 d EI q dx u - =

第三章 能量原理及其应用 例2:不可伸长均质悬索,两端点A、B固定,求在重力作 用下的平衡构形.(1691年,雅可比?伯努利) 考虑通过A、B两点的各种等长曲线.令曲线y=f(x)的长度为L, 则 由重心公式,重心的纵坐标为 b a L ds ? ? ? ? ? ?

2 2 b a dx dy ? ? ?

2 1 b a dy dx dx ? ? ? ? ? ? ? ? ? b a yds y L ? ? ? ?

2 1 b a dy y dx dx L ? ? ? ? ? ? ? ? ?

第三章 能量原理及其应用 根据最小势能原理,应使重心最低,即泛函 ? ?

2 1 b a y y dx ? ? ? 取极值,根据欧拉泊松公式可得:

0 1 ) (

2 ? ? ? ? ? ? y y y 该微分方程的解称为悬链线(catenary)

1 cosh[ ( )] y k x c k ? ?

第三章 能量原理及其应用 从以上例子可以看出,通过能量原理,可以得到真实位移场函数所 满足的微分方程.求解微分方程才能得到真实位移场. 从以上例子可以看出,通过能量原理,可以得到真实位移场函数所 满足的微分方程.求解微分方程才能得到真实位移场. 根据最小势能原理,如果能够列出所有的几何可能位移场函数, 那么使总势能取最小值的位移场就是真实位移场.问题是列出 所有几何可能的位移场函数是非常困难的,甚至是不可能的. 根据最小势能原理,如果能够列出所有的几何可能位移场函数, 那么使总势能取最小值的位移场就是真实位移场.问题是列出 所有几何可能的位移场函数是非常困难的,甚至是不可能的. 因此,对于实际问题的计算,只能凭借经验和直觉缩小寻找范 围(试函数),在这个范围内找到一个位移函数使得总势能最小. 因此,对于实际问题的计算,只能凭借经验和直觉缩小寻找范 围(试函数),在这个范围内找到一个位移函数使得总势能最小. 虽然该位移场一般来说并不是真实的,但是可以肯定,它是在 这个缩小的给定范围内部,与真实位移最为接近的位移,由此 解答可以作为近似解. 虽然该位移场一般来说并不是真实的,但是可以肯定,它是在 这个缩小的给定范围内部,与真实位移最为接近的位移,由此 解答可以作为近似解.

第三章 能量原理及其应用 最小势能原理的主要用途并非推导平衡微分方程,它 是弹性力学问题近似解法的基础.常见的基于最小势 能原理的近似解法为瑞利里茨(Rayleigh-Ritz)法. 最小势能原理的主要用途并非推导平衡微分方程,它 是弹性力学问题近似解法的基础.常见的基于最小势 能原理的近似解法为瑞利里茨(Rayleigh-Ritz)法. 下面以梁的弯曲变形为例,介绍一下瑞利里茨方法. 下面以梁的弯曲变形为例,介绍一下瑞利里茨方法.

第三章 能量原理及其应用 将梁的挠曲线表示成级数 ( ) ( )

1 0 i i i w x a x x l j ? = = ? ? ? ( ) ( )

1 0 n i i i w x a x x l j = = ? ? ? ( ) i i x a j 其中 为已知函数序列, 为待定系数,级数取有限项: ( ) i x 若试函数 满足位移边界条件,称为 . 里兹法 j

第三章 能量原理及其应用 ( ) ( )

1 0 n i i i w x a x x l j = = ? ? ? ( ) ( )

1 2 , ,..., n w x a a a é ù P = P ? ?

第三章 能量原理及其应用 根据最小势能原理,函数应取极值,即: 求解该方程组,即可得到最接近精确解的一组系数.进而 得到最接近精确值的挠曲线. 此类方法称为变分问题的直接法.

第三章 能量原理及其应用 例:等截面悬臂梁,受均匀分布载荷q.试用里兹法求 解梁的挠度w(x). 假设梁的挠度 位移边界条件: ( ) ( )

0 0

0 0 w w = ? = 显然其满足位移边界条件

1 1 cos

2 m m m w C x l p ? = ? ? ÷ ? = - ÷ ? ÷ ? è ? ? 取一项:

1 cos

2 w C x l p ? ? ÷ ? = - ÷ ? ÷ ? è ?

第三章 能量原理及其应用 系统的势能为: 将1cos

2 w C x l p ? ? ÷ ? = - ÷ ? ÷ ? è ? 代入运算可得 ( ) ( )

2 2

2 0

1 =

2 l d w U V EI q x w x dx dx ì ü ? ? ? ? ? ? ÷ ? ? ? ÷ P + = - ? í ? ÷ ? ÷ ? ? ? è ? ? ? ? ? ? ? ò

4 2

3 64 EI U C l p =

0 2

1 cos

2 l V qC x dx Cql l p p p ? ? - ÷ ? ÷ ? ÷ ? è ? ò

第三章 能量原理及其应用 总势能为:

0 C ?P = ?

4 2

3 2 =

64 EI U V C Cql l p p p - P + = -

4 3

2 0

32 EI C ql l p p p - - =

4 0.1194 ql C EI =

4 0.1194

1 cos

2 ql w x EI l p ? ? ÷ ? = - ÷ ? ÷ ? è ?

第三章 能量原理及其应用 当x=l时:

4 max 0.1194 ql w EI = 精确解:

4 max 0.125 ql w EI = 如果试函数取更多项,精度将会更高.

第三章 能量原理及其应用 变分法的直接法的关键在于选择一个合适的位移函数, 这严重依赖于经验.而且对于大部分结构,由于边界条 件复杂,几乎无法在整个结构上找到合适的位移函数 (全域的试函数) 变分法的直接法的关键在于选择一个合适的位移函数, 这严重依赖于经验.而且对于大部分结构,由于边界条 件复杂,几乎无法在整个结构上找到合适的位移函数 (全域的试函数) 因此直到有限元法出现(将结构离散,对每一部分选取位 移函数),此类方法才在工程中得以应用 因此直到有限元法出现(将结构离散,对每一部分选取位 移函数),此类方法才在工程中得以应用

第三章 能量原理及其应用

第三章 能量原理及其应用 (a)基于全域的函数展开与逼近 (b) 基于子域的函数展开与逼近

第三章 能量原理及其应用

一、虚功 1.虚位移 ? ? ? P W外虚 ? ? 不是由作功的力P 产生的 2.外力虚功 虚位移是任意微小的、约束所允许的、变形连续的 3.6 虚功原理 3.6 虚功原理

第三章 能量原理及其应用 注意: (3)位移状态与力状态完全无关;

(2)均为可能状态........