PDF《数学通报》

42 数学通报 2017年第56卷第8期 实际应用背景下向量法探析三角函数问题 刘淑贞 曾大恒 (湖南安全技术职业学院基础课部数理教研室410151)

1 问题 Ilsin(∞f+81)+Jr2sin(∞f+02)=? 的 提出 以往教材中 函数Y―AsinGox4-rp) 的研究 主要是 图像变换 ,即参数A,∞,妒对函数图像的 影响.

由此,教师在教学中就把注意力集中放在三 角函数图像的平移和伸缩上,让学生形式化地记 住 左加右减,上加下减 ,再进行大量解题操练, 而对这个函数的实际意义却不加关注,结果是偏 离了这一教学内容的主题,学习效果不好而且负 担很重.[13很多学生记住了大量的三角公式,能进 行单纯的三角函数的计算,但却不能从内涵上去 理解三角函数,在实际问题中运用三角函数. 我们在进行三角函数教学时就遇到这样一个 思考题 已知有三角函数Y,一J.sin(o[Jt4-O,),Y2一12sin(o!Jt4-02)请问y―Y1+y2的周期、初相位、幅 值有哪些变化? 这个问题难倒了很多的同学,从 教学的反馈来看,其主要原因是,一方面很多同学 思考的角度是从两个三角函数的图形出发,因此 面对叠加之后是怎样的图形无从下手,也就无法 分析相加之后幅值、周期及相位发生了什么改变;

另一方面有些同学习惯用三角公式进行推演,但 由于参数较多,并且运用三角公式展开之后式子 较复杂,很难整合,因此未能解决问题.下面我们 首先分析一下如何从三角函数本身代数运算出发 解决该问题. 2运用三角函数公式并构建三角函数进行逻辑 演绎 首先运用正弦函数的两角和公式 sin(A+ B)一sinAcosB+cosAsinB 展开进行直接计算. 大部分同学能做到下面一步: 由Y一∥1+y2=J】sin(wt+01)4-j2 sin(cot4-02) =J1(simotcosol+coscotsin01)4- I,(simotcos02+cosoJtsinoz) 一sinwt(Il cos014-工2cos02)4- cos(ut(j1 sin01 4-j2 sin02). 关键点及难点在于以下(1)式和(2)式的三角函数 构建,需要在老师引导下少部分学生可以做到: 设11 cos01 4-12cos02一InCOS0 (1) Il sin01+j2 sin02=f.sin0 (2) 则y―y1 4-Y2一sinoDt・Incos04-cos(Ut・J.sinO― j.・sinwtcos0 4-I.・cosoutsin0=I.sin(wt4-0), 其中J.和0的取值可由前面的构建的三角函数 (1)和(2)式左右两边分别平方相加解出: (11 cos01+12cosOz)24-(11 sin014-J2 sin02)2 一工.2(COS204-sin2口)一只, 得In一~/(Il COs014-12 CO观)24-(j1 sin014-J2sin02)2 (3) 同时将(1)式比(2)式得 篙cos糍0 cos0一糍cos0巩tan口, J1 1+f2

2 J. …… 从而得到口一arctan i11鬲sin虿01可4-了I蕊zsinoz (4) 』1 C0s∥1―十一』2cos∥2 最终得出结论 Y-=y1 4-y2一j1 sin(ojt4-01)+12 sin(wt4-02) 一I.sinGot4-0), 可知两个同周期的三角函数相加后周期不发生改 变,并且由(3)、(4)知新的幅值 I,一~/(L co飒+j2co鲲)24-(Il sin014-12si晚)2, 初相位口一arctan篙糌. 以上的这种运用三角公式、构造三角函数来 进行逻辑演绎是解决三角函数有关问题的常用方 法,通常情况下都会想到用这种方法直接对这两 个三角函数相加,然后来分析Y.4-yz的周期、初 相位、幅值情况,但是假设构建 J.cos0.4-j.cosoz =Lcos0(1),J1 sin01 4-j2sin02一.『.sin0(2) 这两 万方数据 2017年第56卷第8期 数学通报

43 个式子很难从代数角度想得到. 同时,用公式进行逻辑演绎严谨抽象,思维缺 少一个具体直观的载体,学生很难将思想集中起 来,对问题本身的理解和应用都不是很深刻,如若 借助一些实际背景、直观形象的处理方法,则可收 到较好的效果.

3 电学背景中与数学中的三角函数Y=j.sin(∞￡ +0)的关联 从函数的本质看,应强调三角函数作为描述 周期现象的重要数学模型的地位,因为 三角函数 与其它学科的联系与结合非常重要,最重要的是 它与振动和波动的联系,可以说,它几乎是全部高 科技的基础之一 .[21 比如生活中最简单常用的交流电,其电流与 电压等物理量的大小和方向会随时间按正弦函数 的规律发生周期性的变化.因此,生活及电力工程 中所用的电流与电压,通常都采用正弦函数的形 式来进行电路电波的分析.[31正弦交流电中,电流 强度i随时间t变化的规律可以用函数表示为i ―J.sin(wt+口),(j.>

0,∞>

0,一丌≤口≤玎),其中 j.是电流强度的最大值,称为幅值(或峰值);

∞ 称为角频率,表示电流变化的快慢;

0称为初相 位,∞f+0称为相位,相位可以表示电流强度在某 时刻的大小和方向.正弦交流电的幅值、频率、初 相位三要素对应正弦三角函数的最值、周期、角度 初值三个函数特征.如下表一: 表一 y=J用sin(∞f+0)各指标在数学与电学中对应 表达式 数学 电学 I.sin(wt+口) 正弦函数图像 正弦交流电波图 J. 正弦函数的最大值 电流幅值的最大值 角频率 T一U 一m』擎山(横轴的伸缩相关系数) (每秒转动的弧度) 口 初相位 初相角

4 电学背景下三角函数y=J.sin(∞f+口)的向量 表示 正弦交流电产生原理是:闭合线圈在匀强磁 场中绕垂直于磁场的轴匀速转动时,线圈里就产 生大小和方向作周期性改变的正弦交流电.依据 这样的一个原理,我们可以在数学上用旋转向量 来对应正弦波函数Y―J.sin(wt+口),具体如下 图1. L珊}m mt+0 P /、 叼.z (∞f+口) ,lm / 再A. 孱//. D r 横自 图1 在平面坐标系上作一个角度为初相位0的旋 转初始向量0A:,使得向量的模等于正弦交流电i ―J.sin(∞t+臼)的最大幅值j.,那么当向量0Aj 以角速度∞逆时针方向旋转,经过t时间后向量 与横轴正方向所形成的夹角为∞￡+0,形成向量 0匿,从图中可以发现向量0匾在纵轴上的投影 即为交流电t时刻电流的瞬时值i一工.sin(wt+ 口),当时间t取不同值时,旋转向量会在纵轴上取 不同的投影值,用这一系列的点(t,i)就可描绘出 正弦曲线.

5 向量法求解问题 jl sin(ccJ￡+0.)+12sin(叫￡+ 优)=? 问题 j1 sin(wt+01)+J2sin((cJ￡+02)一? 在 生活中是指两个同频率的正弦交流电相叠加之 后,角频率、幅值和相位会有哪些变化?前面我们 知道,可以用模为J.,初始角度为0,角频率∞的 旋转向量在纵轴上的投影来对应一个形式为Y― I.sin(wt+口)的正弦函数量.因此我们可以通过两 个对应的向量相加来解决. 现假设0巧、O巧分别代表正弦交流电i.一11 sin(wt+01)、i2一f2sin(∞≠+Oz)在t一0时刻所 对应的向量,0,、0:分别为两个向量的初始角度, 则两向量之和o--P一可霄+面霞与三角函数 J.sin(wt+0j)+J2 sin(wt+Oz)一一对应如图2. 由于这两个正弦交流电的角频率相等即转速 一样,在同一个平面坐标系中根据向量相加的平 行四边形法则,求和之后的向量砑=面爵+瓦露 也会以相同的角速度叫逆时针方向转动,由此可 万方数据

44 数学通报 2017年第56卷第8期∥P,,

::;

r.,..一|j;

!j;

jj!j;

17 12/ / ,・1 么≯'

:'

. D 图2 以分析出同频率的两个正弦交流电相加后的频率 没有改变.下面我们进一步讨论一下叠加之后的 正弦量的幅值J.和新的初相位0的计算. /J Ⅳ D :1 k P,砀. ^sin01 r /l厂'

…… 12sin 02'

'

'

'

殿瓷j M o . .一

一、^c盎0. 7}ios晚7 图3 由图3可知砷的长度即为相加之后的最大 幅值I.,在直角0』ⅥP中利用勾股定理可得 o--P l一枷丽征呵一,/―ON2+―OM2 一∥五五百干币蕊私―彳币磊矿再i丽一~/砰+髓+2工112COS(臼2--0.), 也可以在OPP.中利用余弦定理同样可得到 o--P I一印和瑶=西忑面币F可丽] 一~/舅+熙+2j112COS(口2--01), 因此可得到j1 sin(wt+01)+f2 sin(wt+02)的最大 幅值 工.一棚订可开可币i丽而百_. 向量op初相位0满足式子 tan臼一嬲一篇糍, 舯一arctan篇糍. 这种在实际电路背景下,借助向量加法在几 何上的意义,以及向量与三角函数的映射可以直 观具体地让学生理解两个正弦向量的叠加的深度 含义,对数学的应用意识的培养有积极的作用..

6 总结 弗莱登塔尔在他的 数学现实 教学原则中就 提出,数学来源于现实,也必须扎根于现实,并且 应用于现实.他强调数学教育要引导学生了解周 围的世界,周围的世界是学生探索的源泉.嘲思 考和解决数学问题如若借助恰当的生活实际背景 去处理比单从数学逻辑出发会理解的更深入、更 具体、更能培养数学的应用意识,从而让学生能直 观地体会到数学的价值感.有许多人正是通过一 种 非正规 的方法来接受来理解数学的概念、数 学的公式、数学的思想方法,从而爱上数学.不得 不说以上的向量法解决三角函数问题放弃了逻辑 的严格性,但却更生动形象并具有创造性思维.因此,数学教学中应该严谨的逻辑演绎与直观形象 的几何解释相并存,从数学本身出发与从生活实 际出发思考问题相辅助,才能让学习者更深刻的、 更丰富的、更全面的理解并掌握数学. 参考文献 [1]章建跃,李柏青,金克勤,董凯.体现函数建模思想加强信息 技术应用[J].数学通报,2015,54(8):1―3 [2]齐民友.三角函数向量复数[J].数学通报,2007,46(10) [3]游安军.电路数学[M].北京:电子工业出版社,2014:14 [4]齐民友.三角函数向量复数(续)[J].数学通报,2007,46 (11):l~3 [5]张奠宙,宋乃庆.数学教育概论[M].北京:高等教育出版社, 2004:165~169 万方数据 ........