PDF《2019 年北京市朝阳区高三二模数学考试（文科）逐题解析》

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1 2019 年北京市朝阳区高三二模数学考试(文科)逐题解析 2019.

5 本试卷分为第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,满分

150 分,考试 时长

120 分钟.考生务必将答案写在答题纸上,在试卷上作答无效.考试结束后,将 本试卷和答题纸一并交回. 第I卷(选择题 共40 分)

一、选择题共

8 小题,每小题

5 分,共40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合 题目要求的一项. 1. 已知集合 , ,则(A) (B) (C) (D) 【答案】A 【解析】解不等式 ,解得 所以 ,故选 A 2. 复数 的虚部为 (A) (B) (C) (D) 【答案】B 【解析】 ,所以虚部为 ,故选 B 北京新东方优能中学&优能

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2 3. 已知 , , ,则,,

的大小关系是 (A) (B) (C) (D) 【答案】D 【解析】 ,故选 D 4. 在数学史上,中外数学家使用不同的方法对圆周率 进行了估算,根据德国数学家 莱布尼茨在

1674 年给出的求 的方法绘制的程序框图如图所示.执行该程序框图, 输出 的值为 (A) (B) (C) (D) 【答案】C 【解析】 , (1) , (2) , (3) , 输出 ,故选 C 北京新东方优能中学&优能

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3 5. 已知平面向量 , 的夹角为 ,且,,

则 (A) (B) (C) (D) 【答案】B 【解析】 ,故选 B 6. 已知等差数列 的首项为 ,公差 ,则" , , 成等比数列"是" " 的(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】证充分条件: , , 成等比数列 即,,

,,

充分条件成立 证必要条件: , , , , , 为和的等比中项 必要条件成立 综上为充要条件,故选 C 北京新东方优能中学&优能

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4 7.已知函数 ,若函数 存在零点,则实数 的取值范围是 (A) (B) (C) (D) 【答案】B 【解析】设 的零点为 恒成立, , , ,故选 B 8.在棱长为 的正方体 中, , 分别为线段 和 上的动点,且满 足 ,则四边形 所围成的图形(如图所示阴影部分)分别在该正方体有 公共顶点的三个面上的正投影的面积之和 (A)有最小值 (B)有最大值 (C)为定值 (D)为定值 【答案】D 【解析】选取该图形在正方体有公共顶点的三个面 分别为面 ,面 ,面 正投影的面积分别为 , , ,如图所示 设,,

正投影的面积之和 ,故选 D 北京新东方优能中学&优能

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5 第II 卷(非选择题,共110 分)

二、填空题(共6小题,共30 分) 9.函数 的最小正周期为_______. 【答案】 【解析】 最小正周期 10.已知点 在抛物线 上,则_______;

点 到抛物线 的焦 点的距离是_______. 【答案】 , 【解析】将 代入 中, , 抛物线 到抛物线 的焦点的距离等于 到准线 的距离 11. 圆:上的点 到直线 : 的距离最小值是_______. 【答案】 【解析】圆 的圆心坐标为 ,半径 从而圆 的圆心到直线 的距离为 因此直线 与圆 相离,所求最小值为 北京新东方优能中学&优能

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6 12. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为_______. 【答案】 【解析】由三视图可知该几何体由上下两部分组成 其中上部分为一个正四棱柱,底面边长为 ,高为 ,体积为 下部分为一个圆柱,底面直径为 ,因此底面半径为 圆柱的高为 ,体积为 因此该几何体的体积为两部分之和,即 北京新东方优能中学&优能

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7 13. 已知实数 , 满足 能说明"若 的最大值是 ,则,"为假命题的一组 值是_______. 【答案】 (答案不唯一) 【解析】如图做出可行域,目标函数为 当直线 与直线 重合时, 的最大值是 由得,由 得 因此若 的最大值是 只需满足 在线段 上即可 不妨取 ,即可说明原命题为假命题 14.设全集 ,非空集合 , 满足以下条件: ① , ;

②若,,

则 ,且.当时,填或),此时 中元素个数为_______. 【答案】 , 【解析】 ①若,则当 时, ,与 矛盾 北京新东方优能中学&优能

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8 ② , , 若 ,则 与 矛盾, , 若 ,则 , ,与 矛盾, , , 若 ,则 , ,与 矛盾, , , , , , , , 北京新东方优能中学&优能

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三、解答题(共6小题,共80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.) 15. (本小题满分

13 分) 在等差数列 中,已知 , , . (Ⅰ)求数列 的通项公式;

(Ⅱ)求.【解析】 (Ⅰ)因为 , ,所以 , 所以 , , , (Ⅱ)因为 是等差数列,所以 为等差数列 北京新东方优能中学&优能

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10 16. (本小题满分

13 分) 如图,在四边形 中, , .已知 , . (Ⅰ)求 的值;

(Ⅱ)若 ,且 ,求 的长. 【解析】 (Ⅰ)在中,由正弦定理知 即 解得 (Ⅱ) 在中,由余弦定理知 即 ,化简得 解得 或又,综上所述(1) (2) 北京新东方优能中学&优能

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11 17.(本小题满分

13 分) 某电视台举行文艺比赛,并通过网络对比赛进行直播,比赛现场由

5 名专家组成 评委给每位参赛选手评分,场外观众也可以通过网络给每位参赛选手评分.每位选手的 最终得分需要综合考虑专家评分和观众评分.某选手参加比赛后,现场专家评分情况如 下表.另有约数万名场外观众参与评分,将观众评分按照 , , 分组,绘 成频率分布直方图如下图. 专家 A B C D E 评分 (Ⅰ)求 的值,并用频率估计概率,估计某场外观众评分不小于

9 的概率;

(Ⅱ)从现场专家中随机抽取

2 人,求其中评分高于

9 分的至少有

1 人的概率;

(Ⅲ)考虑以下两种方案来确定该选手的最终得分: 方案一:计算所有专家和观众评分的平均数 作为该选手的最终得分. 方案二:分别计算专家评分的平均数 和观众评分的平均数 ,用 作为该选手最 终得分. 请直接写出 与 的大小关系. 北京新东方优能中学&优能

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12 【解析】 (Ⅰ)由频率分布直方图得 ,得 设场外观众评分不小于 为事件 ,则(Ⅱ)从现场专家中随机抽

2 人,得分情况共有如下

10 种: , , 其中评分均低于

9 分只有

1 种 故其中评分高于

9 分的至少

1 人共

9 种 故从现场专家中随机抽

2 人,评分高于

9 分至少有

1 人的概率为 (Ⅲ) 北京新东方优能中学&优能

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13 18.(本小题满分

13 分) 如图 1, 在直角梯形 中, 点在上, 且,将沿折起, 使得平面 平面 (如图 2) , 为 中点. (Ⅰ)求证: 平面 ;

(Ⅱ)求四棱锥 的体积;

(Ⅲ)在线段 上是否存在点 ,使得 平面 ?若存在,求 的值,若不 存在,请说明理由. 【解析】 (Ⅰ)因为 ,且为中点,所以 因为平面 平面 平面 平面 , 平面 所以 平面 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知 平面 .所以 为 的高 北京新东方优能中学&优能

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14 等腰 中, , 所以 , (Ⅲ)作交于,过 作 因为 平面 , 平面 因为 ,所以 平面 同理可证 平面 因为 ,所以平面 平面 因为 平面 ,所以 平面 在中,因为 所以 北京新东方优能中学&优能

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15 19.(本小题满分

14 分) 已知椭圆 : 的离心率为 . (Ⅰ)求椭圆 的方程;

(Ⅱ)设直线 过点 且与椭圆 相交于 , 两点,过点 作直线 的垂线, 垂足为 .证明:直线 过 轴上的定点. 【解析】 (Ⅰ)由题意知 所以 所以椭圆方程为 (Ⅱ)①若直线 与 轴垂直,不妨设 点在 轴下方 易得 , , 设直线 与 轴的交点 , 满足 所以 解得 所以 点坐标为 北京新东方优能中学&优能

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16 ②若直线 与 轴不垂直,设 的方程为 , , ,则 联立 得: 显然 所以 , 所以 所以直线 始终过 轴上的定点 北京新东方优能中学&优能

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17 20. (本小题满分

14 分) 已知函数 . (Ⅰ)当时,求曲线 在 处的切线方程;

(Ⅱ)求函数 的单调区间;

(Ⅲ) 若函数 在区间 内有且只有一个极值点, 求 的取值范围. 【解析】 (Ⅰ)当时, ,所以 在 处的切线斜率 且 所以 在 处的切线方程为 即(Ⅱ) (1)当 ,即 时 恒成立 所以 的单调递增区间为 (2)当 ,即 时令,解得 令 ,解得 所以 的单调递增区间为 的单调递减区间为 北京新东方优能中学&优能

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18 (Ⅲ) 且由题意, 必须在 上有唯一变号零点 设,所以 在 上单调递增 所以 解得