PDF《能带理论》

? 能带理论(近自由电子近似、紧束缚近似等) ? 晶体中电子(单电子)的性质 * 本征函数:布洛赫函数(周期性调幅的平面波) * 本征状态:电子允许状态形成所谓的能带E(k) * 能带结构 * 能态密度 * 电子填充、费米面 ? 这是了解晶体中电子各种其它性质的基础 * 电子统计问题 ―― 热容量、热激发、光吸收、… * 电子的动力学问题 ―― 外场下的运动…… 能带理论

第五章 晶体中电子在电场和磁场中的运动 问题的提出 晶体中的电子在外加场的作用下―― 电场、磁场、 掺入杂质势场等,如何描述电子的运动? ? 无外场时:晶体电子的薛定谔方程 ―― 定态! ? 有外场时:含外场的薛定谔方程?―― 含时方程! 外场下电子的能量可能随时间变化 ―― 外场与晶体的势场相比弱许多,可用电子在 晶体周期性势场中的本征态为基础进行讨论 ―― 晶体波函数以布洛赫函数为基展开,从而来 求解含时薛定谔方程 ? 布洛赫表象 ―― 特定条件下,将晶体电子当作准经典粒子 具有静止质量me的电子在晶体周期性势场中 运动 ? 具有有效质量的准经典粒子在零势场中 的运动(限制能量在能带中) ? 用准经典粒子 在外场下的动力学方程来描述 方法一 ―― 求解在外加势场 U 时电子的薛定谔方程

2 2 [ ( ) ]

2 V r U i m t ψ ψ ? ? ? ? ? ―― 讨论均匀电磁场中晶体的电磁输运问题 方法二 ―― 满足一定条件下将电子的运动近似当作 经典粒子的运动来处理 准经典粒子的动力学方程 §5.

1 准经典运动 建立电子的准经典运动方程,需有电子的动量和坐标? 晶体中电子的动量和坐标? ? 经典粒子 * 同时具有确定的动量和坐标! ? 电子 * 具有量子行为,满足测不准原理 * 自由电子:动量p=?k,ψp~eik・r * 晶体电子:本征态为具有确定波矢k和能量的布 洛赫函数,状态k完全确定,则坐标完全不确定 * 外场下:非定态,电子状态k发生变化 ? 波包! 1. 波包和电子速度 ―― 量子力学中,对任意有经典类比的力学系统,如果对 一个态的经典描述近似成立,用一个波包来描述这个态 ―― 粒子的坐标和动量满足量子力学测不准关系 粒子在空间分布在 附近的 范围内,动量取值为 附 近的 范围内 波包中心 ― 粒子中心,中心的动量 ― 粒子的动量 粒子的波包构成 晶体电子的波包波函数 晶体中的波包由布洛赫波组成 ( ') [ ' ] ' ' E k i k r t k k r t e u r ψ ? ? = ? ? ? ? ? 以量子态 为中心的波包 k k k ? ? ? + =

0 ' 将能量 按泰勒级数展开

0 ) ( ) ( ) ' (

0 k k E k k E k E ? ? + ? ? ? ? ―― 很小 势场周期性函数近似表示 令?考虑到时间演化,并假定电子在能带间不跃迁

2 2 x y z k k k ? ? ? ? ? ? ? ≤ ≤ ? ? ? ? ? ? 的取值范围 ―― 波包函数 (将k0附近Δ范围内的本征函数迭加)

0 0

0 0 ( ) /

2 /

2 /

2 ( ) [ ] [ ] /

2 /

2 /

2 k k E E k i k r t ik r t x y z k r t u r e dk dk dk e ψ ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ?? ? ∫ ∫ ∫ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ―― 小量 ―― 电子的概率密度分布函数

0 0

0 1

1 1 k k k x y z E E E u x t v y t w z t k k k ? ? ? = ? = ? = ? ? ? ? ? ? ? 其中

0 2

2 2

2 2

6 sin /

2 sin /

2 sin /

2 /

2 /

2 /

2 k u v w r t u r u v w ψ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 电子分布既与周期调幅因子有关,也与Δ 有关 * 若Δ=0,积分等于1;

电子在全空间出现 * 若Δ≠0? 的曲线 波包的限度

0 2

2 2

2 2

6 sin /

2 sin /

2 sin /

2 /

2 /

2 /

2 k u v w r t u r u v w ψ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? u = v = w =

0 t E r k k

0 ) (

1 0 ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? = ? ? = t k E z t k E y t k E x k z k y k x

0 0

0 ) (

1 ) (

1 ) (

1 0

0 0 ? ? ? 粒子中心位置

0 2

2 2

2 2

6 sin /

2 sin /

2 sin /

2 /

2 /

2 /

2 k u v w r t u r u v w ψ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 粒子的速度

0 0 ) (

1 k k k E v ? = ? ?? k很小 第一布里渊区 要求 ―― 实空间中波包线度远远大于原胞(k空间中波包线度远 远小于布里渊区宽度), 在这一个限度里才能将电子看 做是准经典粒子 粒子的中心 ―― 实空间中波包的限度 a π ?

2 > ? 外场应该是时间和空间的缓变函数 * 外场变化的波长λ>>a * 外场频率满足hω

0 ―― 外力作用使电子加速,v(k) 增大 k = π/2a k > π/2a, m* <

0 k = π/a ―― 电子到达能带顶部 ―― 电子做减速运动

2 2

1 *( )

2 cos m k J a ka = ? k = -π/a ~ -π/2a 范围内,?v(k)?不断增大 k = -π/2a k = -π/2a ~

0 2

2 1 *( )

2 cos m k J a ka = ? ―― m*(k)>0,?v(k)?不断减小 ―― 电子到达能 带底部 实空间中电子 速度振荡

1 2

1 ( ) sin r J a v t a Ft = ? ? 电子运动在实空间中的描述 ? 电子在实空间中运动的振荡 能带的倾斜 外电场对电子能量本征值附加的能量 ―― E沿Cx方向 电子运动的振荡 (Bloch振荡) ―― 两个能带 的情形中,电 子在实空间的 运动振荡 t=0电子由带底A点经过B点到达C点―― k=0 到k=π/a 的运动 ―― 在C点电子遇到带隙,相对于存在一个位垒,电子将 被全部反射回来,电子由C点经过B点回到A点―― k=-π/a 到k=0 的运动 ―― 电子在运动的过程中,由于受到声子、杂质和缺陷的 散射(碰撞),相邻两次散射之间的平均时间间隔为电子 的平均自由运动时间:τ ―― 如果τ 很小,电子来不及完成振荡运动就被散射破坏了 ―― ωτ >>

1 ―― ω 振荡圆频率 观察电子运动振荡的条件

1 ) / /

2 (

2 ? = ? qE a π π ω 振荡圆频率 如果 a ≈ 0.3 nm, τ ≈ 10-13 s,则E>2*107 V/m ―― 在金属中无法实现,对于绝缘体早已被击穿 ―― 很难观察到电子的振荡,在一般电场下,在k空间电 子只是发生了一个小位移,无法实现振荡 ―― 根据量子理论,电子可以发生势垒贯穿效应 )] (

2 exp[

2 qE E mE E g g ? π ? ∝ 穿透位垒的几率 ―― 当电场足够强时,若下面的能带被电子填充满,或者接 近填充满,上面能带是空带可以接纳电子,此时电子有 一定的几率从价带穿透带隙进入导带 ―― 隧道效应 ―― 位垒长度