PDF《带边界条件复标量场的正则量子化 *》

第31 卷第1期2007 年1月高能物理与核物理HIGH ENERGY PHYSICS AND NUCLEAR PHYSICS Vol.

31, No.

1 Jan.,

2007 带边界条件复标量场的正则量子化* 隆正文 1) 陈琳 (贵州大学物理系光电子技术及应用实验室 贵阳 550025) 摘要 研究了带边界条件有质量复标量场的量子化. 与把边界条件当作Dirac约束方法不同, 我们在经 典解空间研究这个问题, 利用Fadeev-Jackiw(FJ)方法获得所有傅里叶模的对易关系, 避免用Dirac方 法而产生的问题. 关键词 正则量子化 Dirac约束 边界条件 傅里叶模

1 引言 有限体积的场理论的研究引起人们的兴趣, 不仅 因为它与很多物理问题有密切联系(如凝聚态物理中 的表面效应、腔量子电动力学等), 而且有其自身原 因[1] , 最近, 它再次引起人们的关注则使由弦理论引 发的, 现在人们已经普遍相信当存在反对称的B场时 开弦的端点是非对易的 [2―5] , 从场论的角度看, 问题 的实质是有限空间之中的经典场的正则量子化问题, 也就是说, 在进行正则量子化时, 如何处理边界条件, 通常而言, 这些边界条件是场变量和他们的正则动量 或者是它们的空间导数的代数方程, 在一些特殊情况 下, 还有可能包含场变量和正则动量的时间导数, 这 时必须要对标准的经典Poisson括号进行修改, 使修 改后的Poisson括号在空间内部和标准的Poisson括号 一致, 在边界上能够和边界条件相容, 这样才能自洽 地做正则量子化, 边界条件用Dirac语言 [6] 说就是相 空间中的约束 [7] , 然而, 这种约束和传统的由奇异拉 氏量而引起的Dirac约束不同. 传统的Dirac约束源于 拉格朗日量的奇异性质, 是在整个空间上都有效的约 束, 边界条件只存在边界上. 因此, 由于存在边界条 件人们不能自洽地进行正则量子化. 文献[1]中作者将 边界条件作为Dirac初级约束, 用Dirac方法分析了两 个Toy模型. 然而文献[8, 9]作者发现对一些模型如果 将边界条件当作初级Dirac约束, 那么会出现一些问 题. 问题之一是用Dirac方法计算得到的第二类约束 的链是无穷长的, 问题之二是总Hamiltonian中第二 类约束前的拉氏乘子被确定而Dirac的程序却没有截 至. 这些都是和最初的Dirac所提供的方法相矛盾的, 还有由于边界条件只在边界上成立, Dirac δ 函数或δ 函数的导数被引入, 为了得到最终结果, 就必须对δ 函 数进行正规化, 然而, 不同的正规化选取会有不同的 结果, 如何进行正规化又是一个问题. 本文以有质量复标量场在有限空间的量子化为 例. 发现可以在经典场的解空间中做量子化. 通过重 新定义新变量, 可以使经典解空间中的动力学变量是 与时间相关的傅里叶模, 通过通常的正则量子化方法 得到傅里叶模之间的Poisson括号, 然后得到了原始 的场变量之间的Poisson括号, 正则量子化可以自洽 的进行. 我们的方法不需要把约束分为初级约束、次 级约束、第一类约束、第二类约束, 以上的一些问题 可以避免.

2 模型 我们的模型是有限体积的复标量场, 在不失一般 性的情况下, 为了更清楚地表达其主要思想, 仅考虑 1+1维的情形, 关于更高维的问题, 只要对此做简单的 推广. 作用量可表示为

2006 C

03 C

16 收稿 * 国家自然科学基金(10247009), 贵州省优秀青年科技人才基金(20050530), 贵州省省长基金(2005364)和贵州省自然科学基 金(20043018)资助 1) E-mail: [email protected]

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18 第1期隆正文等:带边界条件复标量场的正则量子化

15 S = t2 t1 dt π

0 dx[?g?ν ?? φ+ ?ν φ?m2 φ+ φ], (1) 这里g?ν = diag(+1,?1). 空间变量限制在有限的体积 内, x ∈ [0,π]. 拉格朗日量为 L = π

0 dx[?g?ν ?? φ+ ?ν φ?m2 φ+ φ], (2) 分别对φ(x,t)和φ+ (x,t)做变分, 得到 δS = t2 t1 ?L ?(?ν φ) δ(?ν φ)+ ?L ?(?ν φ+) δ(?ν φ+ )? m2 δ(φ+ φ) dt = t2 t1 dt π

0 dx(g?ν ?? ?ν ?m2 )φδφ+ + t2 t1 dt π

0 dx[g?ν ?? ?ν ?m2 )φ+ δφ+ t2 t1 dt?x φδφ+ π

0 + t2 t1 dt?x φ+ δφ π

0 + π

0 dx?t φδφ+ t2 t1 + π

0 dx?t φ+ δφ t2 t1 , (3) 对任意的δφ(x,t)和δφ+ (x,t), 如果上式中6项同时为 零, 则作用量变分为零, 前两项为零即为复标量场的 K-G方程 (g?ν ?? ?ν ?m2 )φ(x,t) =

0 , (4) (g?ν ?? ?ν ?m2 )φ+ (x,t) =

0 , (5) 第

五、第六项为初始条件, 而第

三、第四项对应边界 条件, 作适当组合可得到Dirichlet边界: δφ(x,t) x=0,π = 0, δφ+ (x,t) x=0,π = 0, (6) 和Neumann边界: ?x φ(x,t) x=0,π = 0, ?x φ+ (x,t) x=0,π = 0. (7) 正则量子化过程是在由场变量φi(x,t)及其共轭 动量Πi(x,t)构成的相空间进行, Πi(x,t)定义为 Πi(x,t) = δS δ?t φi . (8) 通过勒让德变换可得到哈密顿量: H(φi(x,t),Πi(x,t)) = π

0 dxΠi(x,t)?tφi (x,t)?L. (9) 对于复标量场, 共轭动量为 Π(x,t) = δS δ?t φ(x,t) = ?t φ+ (x,t), (10) Π+ (x,t) = δS δ?t φ+(x,t) = ?t φ(x,t). (11) 哈密顿量用正则变量表示成 H = π

0 dx[Π(x,t)?t φ(x,t)+Π+ (x,t)?t φ+ (x,t)]?L= π

0 dx[Π(x,t)Π+ (x,t)+?x φ(x,t)?x φ+ (x,t)+ m2 φ+ (x,t)φ(x,t)]. (12) 而正则变量随时间变化用正则方程来表示 ?t φ(x,t) = {φ(x,t),H}, ?t φ+ (x,t) = {φ+ (x,t),H}, (13) ?t Π(x,t) = {Π(x,t),H}, ?t Π+ (x,t) = {Π+ (x,t),H}, (14) {, }表示泊松括号, 在求所有的泊松括号后, 标准的正 则量子化过程只需要将经典物理量变成算符, 而泊松 括号按下面形式换成对易式 H(φ(x,t),Π(x,t)) → ? H(φ(x,t)),Π(x,t),{, } →

1 i [,] , (15) [,]表示量子对易符号. 由于边界条件的原因, 量子化 过程只能在区域内部进行, 在区域内的所有非零泊松 括号有 {φ(x,t),Π(x ,t)}bulk = δ(x?x ), (16) {φ+ (x,t),Π+ (x ,t)}bulk = δ(x?x ), (17) 其余所有正则变量间的泊松括号均为零. 但是在边界 上, 不能直接使用标准正则量子化过程, 因为边界条 件可能和基本的泊松括号间是不相洽的. 这个问题在 以前的文献[1―3, 10]中讨论过, 为了避免运用Dirac 方法引起的一些问题, 用FJ方法 [11] 研究这个问题, 并以Dirihlet边界为例说明具体过程, Neumann边界可 按照相同的程序进行, 结果与第一种边界是一致的.

3 Dirihlet边界条件 分析Dirihlet边界的复标量场, 首先是找到能够 同时满足运动方程(4), (5)和边界条件(6)的经典解, 考虑到复标量场变量的复数性质, 定义 φ(x,t) =

1 √

2 [φ1(x,t)+iφ2(x,t)], (18) φ+ (x,t) =

1 √

2 [φ1(x,t)?iφ2(x,t)], (19)

16 高能物理与核物理(HEP &

NP ) 第31 卷φ1(x,t), φ2(x,t)分别是场变量的实部和虚部. 若将 (18), (19)代入(3)中, 不难发现φ1(x,t)和φ2(x,t)满足 同样的运动方程, 用新变量表示边界条件 δφ1(x,t) x=0,π = 0, δφ2(x,t) x=0,π = 0, (20) ?x φ1(x,t) x=0,π = 0, ?x φ2(x,t) x=0,π = 0, (21) 前者为Dirihlet边界, 后者为Neumann边界. 可以检 验, 满足运动方程和Dirichlet边界(20)式的解是 φ(x,t) = k

0 1 √ 2ωk {i[(a1(k)e?iωkt sinkx+ a1(?k)eiωkt sin(?kx)]?[a2(k)e?iωkt sinkx+ a2(?k)eiωkt sin(?kx)]}, (22) φ+ (x,t) = k

0 1 √ 2ωk {i[(a1(k)e?iωkt sinkx+ a1(?k)eiωkt sin(?kx)]+[a2(k)e?iωkt sinkx+ a2(?k)eiωkt sin(?kx)]}, (23) 取自然单位, c = = 1, 那么ωk = √ m2 +k2. 其中a1(k),a2(k),a1(?k),a2(?k)是傅里叶模(可以解释 为谐振子坐标或者动量表象的坐标). 因为φ1(x,t), φ2(x,t)为实数, 于是有 a? (k) = a(?k) . (24) 利用上面的关系, 重新定义 a1(k,t) = a1(k)e?iωkt , (25) a? 1(k,t) = a? 1(k)eiωkt , (26) a2(k,t) = a2(k)e?iωkt , (27) a? 2(k,t) = a? 2(k)eiωkt . (28) 这些含时的傅里叶模可以作为新的动力学变量, 拉格朗日可以变换为新变量的1-形式. 用含时傅里叶 模表示的场变量: φ(x,t) = k

0 1 √ 2ωk [i(a1(k,t)?a? 1(k,t))sinkx? (a2(k,t)?a? 2(k,t))sinkx], (29) φ+ (x,t) = k

0 1 √ 2ωk [i(a1(k,t)?a? 1(k,t))sinkx+ (a2(k,t)?a? 2(k,t))sinkx]. (30) 与场变量相对应的共轭动量则为 Π(x,t) = k

0 ωk

2 [(a1(k,t)+a? 1(k,t))sinkx? i(a2(k,t)+a? 2(k,t))sinkx], (31) Π+ (x,t) = k

0 ωk

2 [(a1(k,t)+a? 1(k,t))sinkx+ i(a2(k,t)+a? 2(k,t))sinkx]. (32) 现在把(29), (30), (31), (32)代入原始拉格朗日量 公式(9)中并对空间积分, 则经典解空间连续积分变 为离散波矢空间求和, 而基本动力学变量就是傅里叶 模. 可以算出相应的哈密顿量: H = π

0 dx[Π(x,t)Π+ (x,t)+?x φ(x,t)?x φ+ (x,t)+ m2 φ+ (x,t)φ(x,t)] = π

2 k

0 [a1(k)a? 1(k)+ a? 1(k)a1(k)+a2(k)a? 2(k)+a? 2(k)a2(k)]ωk. (33) 为了获得傅里叶模的对易关系, 可以使用标准正 则量子化方法, 也可以使用FJ方法 [11] . 为了使用FJ 方法, 需要将拉格朗日量改写成1-形式 L = an(ξ) B ξn ?H , (34) ξn 代表所有的正则变量, an(ξ)就是相应的1-形式. 如 果矩阵 fmn = ?an(ξ) ?ξm ? ?am(ξ) ?ξn . (35) 可逆, 则可以从其逆矩阵直接得到所有正则变量的泊 松括号. 复标量场的1-形式拉格朗日量为 L = π

0 dx[Π(x,t)?t φ(x,t)+Π+ (x,t)?t φ+ (x,t)]?H = iπ

2 k

0 {[a1(k,t)+a? 1(k,t)][B a1(k,t)? B a? 1(k,t)]+ [a2(k,t)+a? 2(k,t)][B a2(k,t)? B a? 2(k,t)]}?H. (36) 从(36) 读出所有的正则变量ξk = {a1(k,t), a? 1(k,t), a2(k,t), a? 2(k,t)}, 相应1-形式为 ak(ξ) = iπ

2 [a1(k,t)+a? 1(k,t)],? iπ

2 [a1(k,t)+a? 1(k,t)], iπ

2 [a2(k,t)+a? 2(k,t)], ?iπ

2 [a2(k,t)+a? 2(k,t)] , 计算辛矩阵fkl 得fkl = ? ? ? ? ? ?

0 iπδkl

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