PDF《枪打出头鸟》

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26 数学文化/第4卷第2期 数学趣谈 三人决斗问题在网上流传很久了,甚至有人已经把它写进书里.

这个大家熟悉的题目 我本来没有想把它放到我的微博上.可是,上周在《数学文化》的微博上看见推荐一个两 人决斗问题,我觉得过于简单,于是把这个三人决斗问题拿出来作比较.题目出来一个星 期了,想写一个答案算交差,没想到越写越长,140 字的微博不够,于是干脆把它加长成 一篇博客文章. 先说那个两人决斗问题.说是两个人搞"俄罗斯轮盘赌" ,一个可以装六颗子弹的左 轮手枪里装了一颗子弹.随机转盘以后两个人轮流用枪对准对方额头射击.每次打枪后重 新转盘.问是先开枪划算还是后开枪划算,并算先开枪和后开枪的存活率.因为每次打枪 后重新转盘,所以想都不用想肯定是先开枪的划算.至于先后的存活率,后开枪的人要在 第一枪没有被打死的情况下(概率是 5/6)才能达到与先开枪的人相同的状态.所以,后 开枪的人的存活率是先开枪的人的存活率的 5/6 .再加上两人的存活率之和是 1,可以得 枪打出头鸟 三人决斗问题趣谈 万精油 he Joy of Mathematics 数学文化/第4卷第2期27 数学趣谈 出先开枪与后开枪的存活率分别为 6/11 和5/11 .所以我说这个问题过于简单. 其实,上面那个题窜改了"俄罗斯轮盘赌" .真正的"俄罗斯轮盘赌"是随机转盘后 对准自己额头打,而且每次打完不再转盘,自动转进下一个子弹位.在这种情况下问先开 枪划算还是后开枪划算就是一个很好的条件概率题.第一枪被打死的概率是 1/6 .第二枪 被打死的概率是 5/6*1/5,还是 1/6 ,以此类推.当然如果对题目理解的很清楚,根本就 不需要算.第K枪死的概率就是子弹在第 K 个弹腔的概率,因为是随机的,每个位置的 概率都是 1/6,所以先打后打都一样. 三人的情况就要有意思得多.从两人到三人有点像从二体运动到三体运动.因为二体 运动必须是平面运动,简单解一解 F = Ma 就可以有结果.三体问题要复杂得多,根本没 有解析解.牛顿、庞加莱这些大家都没有办法.当然,这个三人决斗问题只是比两人决斗 问题麻烦一点,比三体问题那是要简单多了. 先叙述一下三人决斗问题. A,B,C 三人决斗.已知 A 的枪法奇准,百发百中.B 次之,三枪命中两枪. C 最差,三枪只能打中一枪.决斗的方式是三人轮流开枪,每次只能开一枪,可 以随便选向谁开枪.为公平起见, 他们决定让 C 先开枪.然后是 B (如果还活着) , 最后是 A(如果还活着) .如果一轮结束后还有超过一人活着,再按 CBA 循环. 问:在上面给出的条件下,每人的最佳策略是什么?如果大家都采用最佳策略, 每人的存活率是多少? 首先,在三人都在的情况下,开枪的人应该打另外两人中命中率高的,因为如果他打 中就轮到剩下的那个人打他,当然希望命中率不高的人剩下.所以 A, B 肯定互射,而最差 的C被当作老弱病残保护起来.那么 C 是不是该打 A 呢?如果他打中 A, 那么该 B 来打他. 他知道有三人存在时 A, B 都不会来打他,打掉一人反倒对他不利.所以他的最佳策略是放 空枪. 等A, B 相互之间干掉一人后轮他先打, 不管命中率如何差, 两人中先开枪总是划算的. 这就是所谓鹬蚌相争,渔翁得利. 有了这个策略以后,算存活率就是很直接的概率题了.在A的命中率是