PDF《2019 年北京市西城区高三二模数学考试（文科）逐题解析》

(Ⅲ)经测算, 型号手机销售成本 (百元)与销量 (部)满足关系 .若 表中 型号手机销量的方差 ,试给出表中

5 个手机店的 型号手机 销售成本的方差 的值.(用 表示,结论不要求证明) (注: ,其中 为数据 的平均数) 【解析】 (Ⅰ)在10 月1日当天, 所调查的

5 个店的 型号手机总销量为 (部), 型号手机总销量为 (部), 北京新东方优能中学&

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14 则所调查的

5 个店的 型号手机在这两款手机中的销售频率为 , 所以 型号手机

10 月1日当天的全国销量约为 (万部). (Ⅱ)记事件 从这

5 个手机店中任选

2 个,恰好选中 手机店 为 ,则从这

5 个手 机店中任选

2 个,所有可能结果有

10 种,即: . 而事件的结果有

4 种,它们是 . 所以 . 即从这

5 个手机店中任选

2 个,恰好选中 手机店的概率为 . (Ⅲ) . 北京新东方优能中学&

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15 18. (本小题满分

14 分) 如图 1,在平行四边形 中, 为 的中点, .将沿折起到 位置,如图 2. (Ⅰ)求证: ;

(Ⅱ)若为的中点,求证: 平面 ;

(Ⅲ)判断平面 能否垂直于平面 ?并证明你的结论. 【解析】 (Ⅰ)在图

1 中, , 在图

2 中.又,平面 . 又 平面 , . (Ⅱ)如图,取 中点 ,连接 , 为 的中点, , . 北京新东方优能中学&

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16 又,,

四边形 为平行四边形, . 又 平面 , 平面 , 平面 . (Ⅲ)平面 不可能垂直于平面 , 证明:假设平面 平面 , 在平面 内过 作于,平面 平面 , 平面 . 又 平面 , . 由(Ⅰ)知 平面 , . 又与相交, 平面 , 平面 . 故 同时垂直于两个相交平面 和平面 , 这显然不成立,故假设不成立. 平面 不可能垂直于平面 . 北京新东方优能中学&

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17 19. (本小题满分

14 分) 已知椭圆 的右顶点为 ,左焦点为 .斜率为 的直线 与椭圆 相切 于点 ,且点 在第一象限. (Ⅰ)若 ,求直线 的方程;

(Ⅱ)直线 交 轴于点 ,过点 且平行于 的直线与 轴交于点 ,证明: 为 等腰三角形. 【解析】 (Ⅰ)由题意,设直线 的方程为 联立方程 ,消去 ,得 直线 与椭圆相切, ,即设,则 由点 在第一象限,得 ,即 若 ,则 直线 的方程为 (Ⅱ)由(Ⅰ),得,北京新东方优能中学&

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18 由 ,得直线 的斜率为 , 直线 的方程为 . 令 ,得 , . 直线 , 设直线 的方程为 . 令 ,得 , . . 又,为等腰三角形. 北京新东方优能中学&

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19 20. (本小题满分

13 分) 已知函数 . (Ⅰ)求函数 的单调区间;

(Ⅱ)求证:曲线 在点 处的切线不经过原点;

(Ⅲ)设整数 使得 对 恒成立,求整数 的最大值. 【解析】 (Ⅰ)函数 的定义域为 . 求导,得,令,解得 , 由 ,得 , 的单调增区间是 , 由 ,得 , 的单调减区间是 . (Ⅱ)由(Ⅰ)得,曲线 在点 处的切线为 ,其中 . 假设曲线 在点 处的切线过原点, 则有 , 北京新东方优能中学&

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20 即,整理得 ,这与 矛盾, 曲线 在点 处的切线不经过原点. (Ⅲ) 对 恒成立 等价于 当时, , 令,求导,得,由,得 , 随着 变化, 和 的变化情况如下表所示: K 极小值 J 在 上单调递减,在 上单调递增, 函数 的最小值 ,........