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P′ 也是 PB 上的黄金点. A B P 0.382 0.618 P′ O 黄金矩形套 b b a a + b

125 如何测量一条曲线的长度? 如果要测量一条直线的长度,只需要一把尺就可以了.如 果要测量一段曲线的长度,自然也需要用尺去量.如果知道尺的 长度为 s ,量了 n 次,那麽,这段曲线的长度近似等於 ns .但 这只是一个近似值,而不是曲线真正的长度.因为在这个测量过 程中,忽略了每一小段曲线的弯曲,因此,测出的长度显然要比 曲线的真实长度短一些. 要提高测量的精度,可以用更短的尺来测量曲线,这样原来 被直线代替的那一段曲线上的一些弯曲部分也可以被测量出来, 因此测得的长度更接近曲线的真实长度.而且用的尺越短,测出 的长度越接近於曲线的真实长度.但不管怎样,结果仍然是近似 值.要求出曲线的真实长度,必须让尺长无限缩短直至趋向於 0. 这时,如果测出的长度越来越接近於某个确定的值,则这个值就 是所测曲线的真实长度. 对於一些常见的曲线,比如圆周、二次曲线的一段等,都可以 用上述方法计算其长度.这种测量或者计算曲线长度的想法,2000 多年前的阿基米德就在使用了.阿基米德为计算圆周率,用圆内接 正多边形的周长来计算圆周长,实际上就是以圆内接正多边形的边 长作为尺长来测量圆周长,而测量的次数就是内接正多边形的边 数.记内接正 n 边形的边长为 sn ,则其周长为 nsn ,这就是用长为 sn 的尺测量圆周长所量出的长度.当内接正多边形的边数 n 越来 越大,边长 sn 就越来越短,也就是尺长越来越短.因此,量出的 圆周长越来越精确.如果让 n 趋向於无穷大,或者尺长 sn 趋向於

0 ,就可得到圆周的精确长度. 数学上,简单地用直尺测量曲线长度并非总是行得通的,曲 线长度的数学定义要复杂得多,我们无法在这里严格介绍,但其 总的思想是一样的.(邱维元) 可利用直尺量度曲线的长度.如果尺的长度为 s , 量了 n 次,这段曲线的长度近似等於 ns .

077 用直尺测量曲线,尺越短测量 结果越精确 古希腊数学家阿基米德 自然界中的曲线

7 为甚麽各个国家中小学都开设数学课? 因为数学教育能使学生表达清晰、思维有条理, 使学生具有实事求是的态度、锲而不舍的精神.

002 的某些方面不太擅长.总之,只要你受过教育、怀有兴趣,再加上一点才华,就总有那麽几个数学领域 能让你发挥才干,做出切实而有用的贡献.那或许不是数学中最辉煌的部分,但这其实是个正常的现象;

许多时候,平淡无奇的基本问题,到头来却比任何花哨的应用都更重要.再者,你在能够染指某个领域 的著名问题之前,还是先得从这个领域里不怎麽辉煌的部分着手;

只要看看当今任何一位伟大数学家的 早期成就,就会明白这话的意思了. 对有的人来说,充沛的天才反倒会妨害他在数学上的长远发展.比如,答案来得太过容易,他 可能就不会耗费精力去辛勤工作,提 「傻」 问题,或是拓宽知识面,长此以往,能力就会停磺. 另外,一旦习惯了简单的成功,他可能就培养不出解决真正的难题所需的耐心了.才华固然重要, 但如何培养、发展才华才是更重要的.(陶哲轩) 香港放大镜 香港的数学教育 在香港现行的教育制度下,数学 课在中小学均设为必修课.而在 中四至中六的高中课程中,数学 科分为必修部分及延伸部分.必 修部分为所有学生必须修读的课 程.延伸部分为数学上表现较 佳,或对数学较有兴趣的学生而 设.他们可从两个单元:代数与 微积分 (单元一) 、微积分与统 计 (单元二) 中二择其一. 作为基础学科之一,数学是学校教育中最重要的课程,世界上 许多国家都将数学设为中小学的必修课,也是各种升学考试的必考科 目.除了数学知识的实用价值之外,数学教育更能使学生表达清晰、 思维有条理,使学生具有实事求是的态度、锲而不舍的精神,使学生 学会用数学的思考方式去认识世界、解决问题. 具体来说,数学教育的主要价值在於:第一,掌握必要的数学 知识,为进一步学习其他知识打基础、做准备;