PDF《与球相关的“切”“ 接”问题的解决方法》

39 过截面圆心与截面垂直的直线必过球心,球心在过 BC 中点的平面 BCD 的垂线上,且在过 BD 中点 M 的 平面 ABD 的垂线上, 两面垂直, 所以两垂线交点为 N (图4) ,于是半径可定,但较麻烦.另外,如果注意 到CD AD ⊥ , AD AB ⊥ , 联想到长方体中的棱的特征, 不难有补体的想法(图5) .答案:A . 例3如图 6,在四面体 ABCD 中, AB DC = =

10 ,

5 AD BC = = ,

13 BD AC = = ,求其外接球 的表面积. 分析 依据已知条件求出各个棱长,联想到长方 体的棱间关系,容易将图形还原到原几何体――长 方体中,问题迎刃而解.

14 2 R = ,

2 4

14 S R = π = π , 答案:14π .

2 截面法 解答时首先要找准切点,通过做截面来解决, 如果内切的是多面体,则作截面时要抓住多面体过 球心的对角面来作. 例4高为

2 4 的四棱锥 S ABCD ? 的底面是边长 为1的正方形,点SABCD,,

, , 均在半径为

1 的同一 球面上, 则底面 ABCD 的中心与顶点 S 之间的距离为 ( ) A.

2 4 B.

2 2 C.1 D.

2 分析 由正方形边长为

1 及球半径为

1 得出球心 到正方形的距离为

2 2 ,而锥高为

2 1

2 4

2 2 = ? ,∴顶点S在球心 O 与正方形所在截面圆圆心 O 连线的中 垂面上(不可能在其他位置的原因是

2 2 + >

1

4 2 ) , 如图

7、图8,这样问题变得非常简单――答案与半 径等长.答案:C. 例5已知底面边长为 a 正三棱柱

1 1

1 ABC A B C ? 的六个顶点在球

1 O 上,又知球

2 O 与此正三棱柱的

5 个面都相切,求球

1 O 与球

2 O 的体积之比与表面积之 比1. 分析 先画出过球心的截面图,再来探求半径之 间的关系. 如图

9、 图10, 由题意得两球心

1 O ,

2 O 是 重合的, 过正三棱柱的一条侧棱

1 AA 和它们的球心作 截面,设正三棱柱底面边长为 a , 则236Ra=,正三棱柱的高为

2 3

2 3 h R a = = , 由11ADO?Rt 中, 得222222123335

3 3

6 12 R a R a a a

1 5

12 R a ∴ = ,

2 2

1 2

1 2 : : 5:1 S S R R ∴ = = ,

1 2 :

5 5 :1 V V = .

3 构造直角三角形法 首先确定球心位置,借助外接球的性质――球 心到多面体的顶点的距离等于球的半径,寻求球心 到底面中心的距离、半径、顶点到底面中心的距离 构造直角三角形,利用勾股定理求半径. 例6 若三棱锥 S ABC ? 的底面是以 AB 为斜边的 等腰直角三角形,

2 AB = ,

2 SA SB SC = = = ,则该 三棱锥的外接球的球心到平面 ABC 的距离为 ( ) A.

3 B.

2 3

2 C.1 D.

3 3 分析 解决球问题时,未必需要将球画出来.如图11,三棱锥 S ABC ? 的底面是以 AB 为斜边的等腰 直角三角形,SA SB SC = = , S ∴ 在面 ABC 上的射影 为AB 中点 M , SM ∴ ⊥ 平面 ABC . SM ∴ 上任意一 S O

1 O 图8SDCAB图7.O .O1 E A O

2 R

1 R

1 A

1 D

1 E 图10 图91B1E1C1DCOEBA1A图5DBA'

C 图4BACDNM图6ADBC5510

13 10

13 B C A D B 万方数据

40 福建中学数学

2018 年第3 期 点到 A B , 的距离相等.

3 SM ∵ = ,

1 CM = ,在面 SMC 内作 SC 的垂直平分线 HO 与SM 交于O ,则O 为三棱锥 S ABC ? 的外接球球心. 设外接球半径为 r , 在OCM ? Rt 中,

2 2

2 OM CM OC + = , 即222(3)1rr?+=∴

2 3

3 SO r = = ,

3 3 OM ∴ = 即为O 与平面 ABC 的距离. 答案:D . 例7如图 12,直三棱柱

1 1

1 ABC A B C ? 的六个顶 点都在半径为

1 的半球面上,AB AC = , 侧面

1 1 BCB C 是半球底面圆的内接正方形,则侧面