PDF《与球相关的“切”“ 接”问题的解决方法》

1 1 ABB A 的面积 为( ) A.2 B.1 C.

2 D.

2 2 分析如图 13,由题意知球心在侧面

1 1 BCB C 的中 心O上,BC 为截面圆的直径,

90 BAC ° ∴∠ = , ABC ? 的外接圆圆心 N 是BC 的中点,同理

1 1

1 A B C ? 的外心 M 是11BC的中心. 设正方形

1 1 BCB C 的边长为 x,

1 OMC ? Rt 中,

2 x OM = ,

1 2 x MC = ,

1 1 OC R = = ( R 为球的半径),

2 2 ( ) ( )

1 2

2 x x ∴ + = , 即2x=,则

1 AB AC = = , S ∴ 矩形

1 1

2 1

2 ABB A= * = . 答案:D .

4 等体积法 例8正三棱锥的高为 1,底面边长为

2 6 ,正 三棱锥内有一个球与其四个面相切.求球的表面积 与体积. 分析 如图 14, 本题求解的关键是分析清楚球的 半径与正三棱锥的高及底面边长的关系,由等体积 法得 S ABC O ABC O SAB O SBC O SAC V V V V V 于是

2 3

6 2

2 3

3 2 r = = ? + . 答案

2 2

4 4 (

6 2) 8(5

2 6) S r = π = π ? = ? π 球;

3344(62)

3 3 V r = π = π ? 球.5向量法 例9已知在三棱锥 P ABC ? 中, PA PB ⊥ ,PB ⊥ PC,PC PA ⊥ ,且222PA PB PC = = = ,求该三棱锥 外接球的表面积. 分析 本题的关键是求出外接球的半径 r ,除了 补形法或轴截面法外,还可用向量法求半径. 如图 15,设外接球的球心坐标为 ( ) O x y z ,,

. 由| OP OA OB OC = = = ??? ? ??? ? ??? ? ???? 可得:

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

1 2 ( 2)

1 ( 1)

2 ( 1)

1 x x y z x y z x y z x y z y x y z x y z z ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? , , , , , , 所以

6 | |

2 R OP = = ??? ? . 答案

2 6

4 ( )

6 2 V = π = π . 例10 已知在三棱锥 A BCD ? 中,AD ⊥ 面ABC ,

120 BAC ° ∠ =,

2 AB AD AC = = = ,求该棱锥的外接 球半径. 分析 如图 16,由已知建立空间直角坐标系, (0

0 0) A ,,

, (2

0 0) B ,,

, (0

0 2) D ,,

, 由平面知识得 (

1 3 0) C ? , , , 设球心坐标为 ( ) O x y z ,,

, AO BO CO DO = = = , 由空间两点间距离公式知:

2 2

2 2

2 2 ( 2) x y z x y z

2 2

2 2

2 2 ( 2) x y z x y z

2 2

2 2

2 2 ( 1) ( 3) x y z x y z 解得

1 x = ,

3 3 y = ,

1 z = . 图16 D A B C z y x 图15 (0

1 0) C ,,

(1

0 0) B ,,

(0 0,

0 P , (0

0 2) A ,,

z x y 图14 E C B D A O S O 图11 H A B C S M 图12

1 B B C A

1 A

1 C 图13 M O

1 B B C A

1 A

1 C 万方数据 2018年第3 期 福建中学数学

41 答案

2 2

2 3

21 1 ( )

1 3

3 R 球的切接问题变化多端,但最终转化为规则几 何体(正方体、长方体、正四面体、正三棱锥)的 问题处理,这是不变的规则. 一类数量积问题的求解策略 沈春妹 福建省龙岩市永定第一中学(364100) 我们知道,由完全平方公式

2 2 ( )

2 a b a ab ± = ± +

2 b 可推导得

2 2

1

4 ab a b a b........