PDF《高阶邦加球上柱矢量光束的变换∗》

2014 中国物理学会 Chinese Physical Society http://wulixb.iphy.ac.cn 154203-1 物理学报Acta Phys. Sin. Vol. 63, No.

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154203 类比于邦加球表面上的光束, 本文提出一种基 于半波片实现高阶邦加球上柱矢量光束变换的方 法. 运用琼斯矩阵理论分析了利用半波片实现柱 矢量光束变换的原理, 并用实验验证这种方法的可 行性.

2 理论分析 高阶邦加球是一个描述柱矢量光束的偏振态 的单位球(斯托克斯参数 S?

0 = 1). 类比于传统的邦 加球, 高阶邦加球表面上的任一点对应矢量光束的 惟一偏振态 ψ, 可用斯托克斯参数组成的坐标 (S? 1, S? 2, S? 3) 表示, 也可用球坐标 (θ, ?) 表示. 这里的高 阶斯托克斯参数定义为 [15] S?

0 = |?R? ・ ψ?|

2 + |?L? ・ ψ?|

2 , S?

1 = 2Re ( ?R? ・ ψ? ? ?L? ・ ψ? ) , S?

2 = 2Im ( ?R? ・ ψ? ? ?L? ・ ψ? ) , S?

3 = |?R? ・ ψ?|

2 ? |?L? ・ ψ?|

2 , (1) 其中, L?, R? 分别表征带涡旋相位的左旋圆偏振光 和右旋圆偏振光, 对应于高阶邦加球的北极和南极 点, 其数学表达式为 L? = (? x + i? y) e i?φ / √ 2, (2) R? = (? x ? i? y) e ?i?φ / √ 2. (3) 上面两式中 ? 是与轨道角动量相关的一个整数, 称 为拓扑荷数;

? x, ? y 分别表示 x 方向和 y 方向单位矢 量;

φ = arctan(y/x) 对应极坐标下的方位角, 也可 理解为局部径向与 x 轴的夹角. 其他球面上各点的 位置都可以通过(2)、 (3)式得出, 球坐标为(θ, ?)的 任意一点的对应数学表达式为 [16] ψ?(θ, ?) = cos ( θ

2 ) e ?i?/2 L? + sin ( θ

2 ) e i?/2 R?. (4) 为了更直观的了解高阶邦加球, 我们给出了如 图1所示 ? = ±1 的高阶邦加球. 从图中可以看出, 北极对应带涡旋相位的左旋圆偏振光, N? 和N+ 两点对应偏振态表达式可写为 ψ?1(0, ?) = (? x + i? y) e ?iφ / √ 2, (5) ψ+1(0, ?) = (? x + i? y) e iφ / √ 2. (6) 南极对应带涡旋相位的右旋圆偏振光, S? 和S+ 两 点对应偏振态表达式分别为 ψ?1(π, ?) = (? x ? i? y) e iφ / √ 2, (7) ψ+1(π, ?) = (? x ? i? y) e ?iφ / √ 2. (8) 赤道对应于带涡旋相位的线偏振光, H? 和H+ 对 应偏振态表达式分别为 ψ?1 (π

2 ,

0 ) = cos φ? x + sin φ? y, (9) ψ+1 (π

2 ,

0 ) = cos φ? x ? sin φ? y. (10) A? 和A+ 对应偏振态表达式分别为 ψ?1 (π

2 , π

2 ) = cos ( φ + π

4 ) ? x + sin ( φ + π

4 ) ? y, (11) ψ+1 (π

2 , π

2 ) = cos ( ?φ + π

4 ) ? x + sin ( ?φ + π

4 ) ? y. (12) 图1高阶邦加球 (a) ? = ?1;

(b) ? = +1 154203-2 物理学报Acta Phys. Sin. Vol. 63, No.

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154203 为了方便后续问题的讨论, 我们还推导了 ? = ?1 高阶邦加球上 B 和C两点对应偏振态表达式分 别为 ψ?1 ( 3π

4 ,

0 ) = e ?iφ ( e 2iφ cos (π

8 ) + sin (π

8 )) √

2 ? x ? i e?iφ ( e 2iφ cos (π

8 ) ? sin (π

8 )) √

2 ? y, (13) ψ?1 (π

4 ,

0 ) = e ?iφ ( cos (π

8 ) + e 2iφ sin (π

8 )) √

2 ? x + i e?iφ ( cos (π

8 ) ? e 2iφ sin (π

8 )) √

2 ? y. (14) 为了从理论上描述利用半波片实现高阶邦加 球之间的变换, 我们采用琼斯矩阵法分析. 球上任 一点对应的偏振态ψ?(θ, ?)可转化为琼斯矢量的形 式如下:

1 √

2 ? ? ? ? cos ( θ

2 ) e ?i(?

2 ??φ) + sin ( θ

2 ) e i(?

2 ??φ) i cos ( θ

2 ) e ?i(?

2 ??φ) ? i sin ( θ

2 ) e i(?

2 ??φ) ? ? ? ? . (15) 半波片对应的琼斯矩阵可以表示为 ? ? cos α ? sin α sin α cos α ? ? ? ? e ?iπ/2