PDF《2019 年北京市海淀区高三期末数学（理科）逐题解析》

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15 又,,

以为原点, , , 所在直线分别为 , , 轴,建立空 间直角坐标系, 所以 因为 平面 ,所以取平面 的法向量为 , 设平面 的法向量为 , 因为 , ,所以 , 所以 ,令 ,则 , , 所以 , 则,由题知 为锐角,所以 的余弦值为 . (Ⅲ)假设棱 上存在点 ,使得 , 设 ,所以 , 因为 ,所以存在 使得 , 北京新东方优能中学&

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16 所以 ,此方程组无解. 故假设错误,所以棱 上不存在点 ,使得 . 18. (本小题满分

14 分) 椭圆 的左焦点为 , ,过点 的直线 与椭圆 交于不同的两点 . (Ⅰ)求椭圆 的离心率;

(Ⅱ)若点 关于 轴的对称点为 ,求 的取值范围. 【解析】 (Ⅰ)依题意 ,解得 , 故.(Ⅱ)不难看出 存在,设直线 的方程 , 设则,联立 消去 ,化简可得 , , 北京新东方优能中学&

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17 , , 所以, , 又 于是 ,从而 . 19. (本小题满分

13 分) 已知函数 . (Ⅰ)当时,求曲线 在点 处的切线方程;

(Ⅱ)当时,求证: 对任意的 成立. 【解析】 (Ⅰ)当时,函数 , , 北京新东方优能中学&

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18 , 所以函数 在点 处的切线方程为 , 即.(Ⅱ)要证 对任意 成立 , 只需证 对任意 成立 , 令,则,令,则,令得,则随的变化情况如下表: K 极小值 J 因为 ,所以 ,即,北京新东方优能中学&

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19 所以 在 单调递增, 所以 , 所以,当时, 对任意的 成立. 20. (本小题满分

13 分) 设 为不小于3的正整数,集合 ,对于集合 中的任意元素 , ,记.(Ⅰ)当时,若 ,请写出满足 的所有元素 ;

(Ⅱ)若 ,且 ,求 的最大值和最小值;

(Ⅲ) 设是的子集,且满足:对于 中的任意的两个不同元素 , , 有 成立,求集合 中元素个数的最大值. 【解析】 (Ⅰ)满足 的元素为 . (Ⅱ)记,注意到 ,所以 , 所以 北京新东方优能中学&

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20 , 因为 ,所以 , 所以 中有 个量的值为 , 个量的值为 , 不难看出 , 当时, 满足 . 所以 的最大值为 又,注意到只有 时, ,否则 , 而中个量的值为 , 个量的值为 , 所以满足 这样的元素 至多有 个, ①当 为偶数时, . 当时,满足 ,且.北京新东方优能中学&

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21 所以 的最小值为 . ②当 为奇数时,且 ,这样的元素 至多有 个, 所以 . 当时, 满足 , 所以 的最小值为 . 综上所述, 的最大值为 ,当 为偶数时, 的最小值为 , 当 为奇数时, . (Ⅲ) 中的元素个数最大值为 . 设集合 是满足条件的集合中元素个数最多的一个, 记,,

不难看出 , 集合 中元素个数不超过 个, 下面我们证明集合 中元素个数不超过 个: ,则,北京新东方优能中学&

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22 则 中至少存在两个元素 , , , 因为 ,所以 不能同时为 , 所以对 中的一组数 而言, 在集合 中至多有一个元素 满足 同时为 , 所以集合 中元素个数不超过 个, 所以集合 中的元素个数为至多为 . 记,则中共 个元素, 对于任意的 , , . 对 ,记 其中 , , 记,不难看出 , ,均有 . 记,中的元素个数为 , 且满足 , ,均有 . 综上所述, 中的元素个数最大值为 . ........