PDF《电动力学》

电动力学

第二章:Laplace 方程与分离变量法 杨焕雄 中国科学技术大学物理学院近代物理系 hyang@ustc.

edu.cn April 11,

2019 1 /

33 Laplace 方程,分离变量法: 考虑某个区域 V 中静电场的电势分布.

1 假设自由电荷只分布在 V 的边界 S 上,V 的内部无自由电荷 分布.这样,区域内部的电势满足 Laplace 方程: ?2 φ =

0 2 根据边界面 S 的几何形状,选取适当的坐标系求解 Laplace 方程.

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33 直角坐标系中的分离变量法: 分离变量法的特点是将偏微分方程化简为若干常微分方程进行求 解. 首先讨论直角坐标系中 ?2φ =

0 的分 离变量法. 如图示, 直角坐标系中场点 P 的位置矢量可表为: ? r = x? i + y? j + z? k 而, ?2 = ?i?i = ?2 ?x2 + ?2 ?y2 + ?2 ?z2 为简单计,设静电势的分布不依赖坐标 z, φ = φ(x, y) , 这样, Laplace 方程化为: ?2φ ?x2 + ?2φ ?y2 = 0.

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33 按照分离变量法的精神,我们尝试求形如 φ(x, y) = X(x) Y(y) 的特解. 将此试探解代回到 Laplace 方程中,可得: Y d2X dx2 + X d2Y dy2 =

0 ?

1 X d2X dx2 = ?

1 Y d2Y dy2 上式成立的充要条件是等号两端均为同一常数,记作:?α2, 则有: d2X dx2 + α2 X = 0, d2Y dy2 ? α2 Y = 0. 常参数 α 可实可虚,其值要通过静电势的边界条件确定. 对于一个确定的 α,Laplace 方程的特解是:φα = Xα Yα,此 处的 Xα 与Yα 是上述二常微分方程的通解: Xα = aα sin(αx) + bα cos(αx), Yα = cαeαy + dαe?αy .

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33 为了满足边值关系,需要将各种可能的特解做线性叠加: φ(x, y) = ∑ α [ aα sin(αx) + bα cos(αx) ] (cαeαy + dαe?αy ) Sample: 设静电场局限在由间距为 a 的两个半无限大平行导体板 和与之垂直、宽度为 a 的无限长导体端板构成的区域中. 端板和 平行板彼此绝缘. 将二平行板接地,端板加上电势 V0. 求该区域 中的静电势分布. Solution:如图示,此问题中的电势仅 与x, y 有关,属于二维问题. 试探解 由本页第一个方程给出. 因平行导体 板接地,φ|x=0 = φ|x=a = 0, 我们有 bα = 0, 且: α = mπ/a, m = 1, 2, 3, ・ ・ ・

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33 静电势在 y → +∞ 时应取有限值,这称作自然边界条件. 因此, cα = 0, φ(x, y) = ∑ α>

0 aα sin(αx)・dαe?αy = +∞ ∑ m=1 a′ m sin ( mπx/a ) exp ( ?mπy/a ) 最后一组待定系数 a′ m 可由 y =

0 处的给定电势 V0 确定: V0 = φ y=0 = +∞ ∑ m=1 a′ m sin ( mπx/a ) 此式是 V0 的正弦级数表式. 展开系数的计算公式是: a′ m =

2 a ? a

0 V0 sin(mπx/a)dx = { 4V0/mπ, 若m为奇数 0, 若m是偶数 于是本问题的解是: φ(x, y) = 4V0 π +∞ ∑ n=0

1 (2n + 1) sin [ (2n + 1)πx a ] exp [ ? (2n + 1)πy a ]

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33 电势分布的示意图如下:

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33 柱坐标系中的分离变量法: 接着讨论圆柱坐标系中求解 ?2φ =

0 的分离变量法. 如图示,柱坐标系中场点 P 的位置矢 量可表为: ? r = ρ? eρ + z? k 从而, d? r = dρ? eρ + ρ d?? e? + dz? k 式中的? e? 是极角 ? 增大方向的单位矢 量,定义为:? e? = ??? eρ. 于是,柱坐标系中各个坐标相应的拉梅系数是:hρ = 1, h? = ρ 和hz = 1. ? ? =? eρ?ρ + ? e? ρ ?? +? ez?z

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33 现在求出 ?2φ 在柱坐标系中的表达式. 利用柱坐标可以将静电势 的梯度表为: ?φ =? eρ?ρφ + ? e? ρ ??φ +? ez?zφ 注意到:? ・ (u? A) = ?u ・ ? A + u? ・ ? A 以及对于 i ?= j ?= k ?= i, ? ・ ( ? ei hjhk ) =

0 我们有: ?2φ = ? ・ ?φ = ? ・ [ ? eρ?ρφ + ? e? ρ ??φ +? ez?zφ ] = ? ・ [ ? eρ ρ (ρ?ρφ) +? e? (